FETI 기반 영역분할을 이용한 전자기 산란장 해석

주파수 영역 전자기 산란 문제에서 전기장은 식 (1)과 같은 벡터 헬름홀츠 방정식에 의해 결정된다, 여기서, E^sc와 E^inc 는 각각 산란, 입사 전기장을 의미한다.

만약에 산란체가 완전 도체(PEC)인 경우, 식 (2)와 같이 공식화될 수 있으며, 도체 표면에서 전기장의 수평(tangential)성분은 존재하지 않기 때문에 디리클레 경계조건($\widehat{n}\times {\text{E}}^{\text{sc}}=-\widehat{n}\times {\text{E}}^{\text{inc}}$)이 부여된다. 여기서, V는 전체 해석 영역이며, S는 해석 영역의 최외각 면을 의미한다.

또한, 식 (2)는 일반화된 변분원리(generalized variational principle)를 적용해 식 (3)과 같이 표현되며, 식 (3)의 각 요소 행렬(elemental matrix)은 식 (4)와 같다. 추후 각 요소들에 대해 합산 과정을 거치게 되면 식 (5)와 같은 행렬 방정식을 얻게 되고, 이 방정식을 풀면 해석구조에 대한 산란 전기장(E^sc)을 구할 수 있다. 추가적으로 V에 해당하는 영역은 체적 요소(3차원 벡터 기저 함수 N^e)를 사용하고, S에 해당하는 영역은 표면 요소(2차원 벡터 기저 함수 N^s)를 사용한다.

FETI 방법을 적용하기 위해서는 전체 해석 영역을 각각의 부영역으로 나누어야 하며, 각 부영역들에 대한 초기 행렬 방정식은 다음과 같다^[1],[5].

여기서 윗 첨자 s는 부영역을 의미하며, 밑 첨자 b는 부영역에 해당하는 경계, 밑 첨자 i는 경계를 제외한 부영역 성분들이다. 또한, λ_b는 부영역 간의 경계에 부여되는 라그랑주 승수이며, 부영역에 따라 양과 음의 상반되는 부호를 가지게 된다는 특징이 있다^[1],[5].

부영역별 전기장($E_b^s,E_i^s$)를 복원하기 위해서는 부영역별로 생성된 행렬 방정식들을 식 (7)과 같이 합쳐 λ_b를 계산 후, 식 (8)을 사용해 $E_b^s$를 복원하며, 마지막으로 식 (9)를 사용해 $E_i^s$를 복원한다^[1],[5].

여기서 [B^s]는 부영역 내의 경계를 추출하는 Boolean 행렬이며, 부영역에 따라서 양과 음의 부호가 부여된다.

전자기 헬름홀츠 방정식의 영역분할은 부영역 간의 전달 조건 부여 시 더 효율적인 계산이 가능하며, FETI 방법에 1차 전달 조건을 식 (10)과 같이 부여하는 방법을 FETI-H 방법이라 한다^[4].

여기서, 1차 전달 조건을 부영역에 부여할 때 [M^s]의 부호는 [B^s]의 부호와 같다.

FETI-DP 방법을 적용하기 위한 초기 행렬 방정식은 다음과 같이 설정할 수 있다^[1].

여기서, 윗 첨자 s는 부영역을 의미하며, 밑 첨자 b는 2개의 부영역을 공유하는 경계를, 밑 첨자 c는 3개 이상의 부영역을 공유하는 경계를 의미한다. 마지막으로 밑 첨자 i는 경계를 제외한 부영역 성분들이다^[1]. FETI 방법과 유사하게 λ_b는 부영역 간의 경계에서 상반되는 부호를 가지며, λ_c는 전부 양의 부호를 갖는다.

부영역별 전기장($E_c^s,E_r^s$)를 복원하기 위해서는 부영역별로 생성된 행렬 방정식들을 식 (12)와 같이 합쳐 λ_b를 계산 후, 식 (13)을 사용해 $E_c^s$를 복원하며, 마지막으로 식 (14)를 사용해 $E_r^s$를 복원한다^[1]. 또한, 부영역별 영향을 합친 행렬([F_rr],[F_rc],[${\tilde{K}}_{cc}$]) 및 벡터({d_r},{${\tilde{b}}_c$})들은 식 (15)와 같이 정의된다.

여기서 [$B_r^s$],[$B_c^s$]는 각각 부영역 내의 b, c에 해당하는 경계를 추출하는 Boolean 행렬이며, 영역에 따라서 부호가 부여된다.

제안한 방법의 정확도 확인을 위해 상용 전자기 해석 소프트웨어인 HFSS를 reference 결과로 사용하며, 식 (5)와 같이 영역분할을 적용하지 않은 행렬 방정식에 대해 MATLAB solver(backslash)를 사용해 얻은 해석 결과(original로 표기)를 추가로 비교한다. 이에 따라, FETI, FETI-H, FETI-DP 방법 결과의 유효성을 그림 1에 표시한 yz 평면(x=1.5 m)에서 산란장 분포(그림 4)와 레이다 반사 면적(그림 5)을 비교 검증하며, 시뮬레이션에서 사용한 MATLAB code는 본 저자들이 직접 전 과정을 작성한 in-house code이다. 또한, FETI, FETI-H의 수렴성 및 해석 속도 비교를 위해 MATLAB 내장 함수인 gmres를 사용하였으며, 허용오차는 1e-6을 사용했다. 그림 6은 반복당 잔차(residual)의 수렴 속도를 비교한 그래프이며, FETI, FETI-H, FETI-DP의 해석 속도는 각각 162 s, 118 s, 111 s로 측정되었다.

그림 4. | Fig. 4. 해석 방법에 따른 산란장 도시(yz 평면) | Scattered field according to analysis method (yz plane).

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그림 5. | Fig. 5. 해석 방법에 따른 레이다 반사 면적(yz 평면) | RCS according to the analysis method (yz plane).

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그림 6. | Fig. 6. FETI와 FETI-H의 수렴 속도 비교 | Comparison of convergence rates between FETI and FETI-H.

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