자동화기에서 자탄 탐지를 위한 모델링 및 시뮬레이션 방법

사격 조준점 계산 모델은 표적 운동에 대한 표적의 위치를 추정하고, 탄의 발사를 위해서 사격제원 계산에 따라 발사 예측지점을 계산한다^[2].

표적 운동 추정 모델은 표적의 운동에 따른 추적레이다의 추정 오차를 기준으로 표적의 움직임에 대한 표적 운동 추정 위치를 계산한다. 현재시간(t₀)을 기준으로 t₀ + Δt, … , t₀ + nΔt 시간에 대한 표적 운동 추정 위치인 s(t₀ + Δt), … , s(t₀ + nΔt)를 획득한다. 그리고 표적의 운동 추정 위치에서 요격 가능 여부를 판단하고 발사고각을 결정한다. 또한 s(t₀ + kΔt)의 위치에서의 비행시간, 발사시간(t_f(k)) 및 발사각(γ(k))를 계산한다. 현재시간(t₀)에서 표적 예측지점인 s(t₀ + kΔt)로 발사를 시작하여 표적을 요격한다. 그림 2는 자동화기의 탄 발사에 대한 절차를 나타낸다.

그림 2. | Fig. 2. 자동화기의 탄 발사에 대한 절차 | The bullet fire proceeding of the gun fire control system.

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자동화기의 자탄을 탐지하기 위해서는 탄도미분방정식을 이용하여 자탄에 대한 궤적을 예측해야 한다. 본 논문에서는 직사화기를 대상으로 공기저항을 고려하고 지구자전에 의한 코리올리(Coriolis) 힘을 적용한다. 또한 중력의 값을 고도에 따라 다르게 적용한다. 식 (1)은 탄도미분 방정식을 나타낸다.

여기서 $\overrightarrow{v}$는 속도벡터이며 ρ는 공기밀도 나타낸다. $\overrightarrow{u}$는 항력을 고려한 속도벡터이고 C_D는 공기항력계수를 나타낸다. $\overrightarrow{g}$는 고도에 따른 중력 벡터를 나타내고 ${\overrightarrow{a}}_{drift}$는 드리프트 벡터이며 ${\overrightarrow{a}}_{coriolis}$ 는 위도에 따른 코리올리 벡터를 나타낸다. 그림 3은 공기항력계수를 나타내며, 탄의 속도에 따라 모델링을 수행한다^[3]. 공기항력계수는 속도에 따라서 일정하다가 급격히 증가하고 지수함수의 형태로 감소한다.

그림 3. | Fig. 3. 탄의 속도에 따른 공기의 항력계수 | The bullet velocity vs. the coefficient of air drag force.

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코리올리 힘은 지구의 자전에 의해서 발생하는 힘으로 북반구에서는 시계방향으로 작용하고, 남반구에서는 시계 반대방향으로 작용한다. 식 (2)은 코리올리 힘을 나타낸다^[4].

여기서 ω는 지구의 회전율을 나타내며 7.29211×10⁻⁵의 값으로 주어진다. ν_e, ν_n, ν_u는 국부좌표계에서 각각 east, north, upward 방향의 속도벡터를 나타낸다. ψ는 위도(latitude)를 나타낸다.

펄스-도플러 신호처리는 수신된 레이다 신호에서 펄스 단위로 펄스압축을 수행하여 거리 축으로 신호의 에너지를 모으고 버스트 단위로 도플러 주파수 축에서 에너지를 모으는 역할을 수행하여, 표적의 거리정보 및 시선각 방향의 속도정보를 나타내는 RD(range Doppler) 영상을 얻을 수 있다^[5]. 그림 4는 펄스-도플러 신호처리에 대한 개념도를 나타낸다. PRI(pulse repetition interval) 간격으로 배열 데이터가 형성되며 한 펄스 내에 시간 축을 fast time이라고 표현하고, PRI 간격으로 된 펄스가 나열된 시간 축을 slow time이라고 표현한다.

그림 4. | Fig. 4. 펄스-도플러 신호처리에 대한 개념도 | The concept of pulse-Doppler signal processing.

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펄스-도플러 신호처리에서 펄스 신호처리는 fast time 축에 대해서 펄스압축을 수행하고, 도플러 신호처리는 slow time 축에 대해 FFT(fast Fourier transform)를 수행하여 처리한다. 펄스-도플러 신호처리 수행시 부엽(sidelobe)이 발생하여 부엽으로 수신되는 큰 전력의 반사파가 상대적으로 적은 전력으로 수신되는 표적의 반사파를 가릴 수 있기 때문에 이를 방지하게 위해 윈도우 함수를 적용하여 부엽 레벨을 낮출 수 있다.

CFAR(constant false alarm rate) 신호처리는 표적을 탐지하기 위한 일반적으로 사용되는 방법으로 일정한 오경보 탐지확률을 유지하기 위해 문턱치값(threshold value)을 바꾸어 적용하는 방법이다^[6],[7]. 본 논문에서는 표적을 탐지하기 위해서 CA(cell average)-CFAR를 사용한다. 그림 5는 CA-CFAR 알고리즘 신호처리 방법을 나타내며, 신호의 전력 값을 저장하고 있는 cell들에 대해서 test cell 좌우 데이터 값들의 평균값을 계산하고, 이를 체계 문턱치(system threshold)와 곱하여 실제 데이터를 고려한 문턱치(threshold value)를 계산한다. 그리고 test cell과 비교 연산하여 문턱치 보다 test cell 값이 클 경우 표적으로 인정하여 HIT 목록에 추가한다. 여기서 HIT는 탐지된 표적 셀(cell)을 의미한다. 문턱치 보다 작은 경우 잡음으로 인식하여 이 셀(cell)은 버리게 된다. 여기서 표적에 의한 부엽신호의 영향을 최소화하기 위해 경계 셀(guard cell)을 지정한다.

그림 5. | Fig. 5. CA-CFAR 알고리즘 신호처리 | The signal processing of CA-CFAR algorithm.

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모노펄스 오차 계산 신호처리는 그림 6과 같이 안테나 빔 조향각인 θ_ant에 대하여 표적의 방향인 θ_target과 얼마나 오차(θ_target − θ_ant)를 가지느냐를 구하는 것으로 모노펄스에 대한 표적의 수신 반사파의 합 채널 신호와 차 채널 신호를 이용하여 구하게 된다.

그림 6. | Fig. 6. 배열 안테나의 모노펄스 오차 계산 개념도 | The concept of monopulse error calculation for array antenna.

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위상배열 레이다에서 합 채널 신호는 위상배열의 각 element에 들어오는 모든 신호를 합하여 만들며, 차 채널 신호는 위상배열의 중심을 기준으로 각도 오차를 구하려는 방향의 좌측 element에 들어오는 신호들의 합과 우측 element에 들어오는 신호들의 합의 차이를 구하여 만든다. 보통 차 채널 신호를 만들 때 element들의 수가 같게 하여 양쪽에 들어오는 이득에 의한 전력의 양이 같도록 한다.

모노펄스를 이용한 각도 오차 계산은 모노펄스의 기울기 이용하여 구하게 되는데, 위상배열 레이다에서 모노펄스 각도 오차 계산은 빔 조향 방향에 상관없이 하나의 모노펄스 기울기를 이용하기 위하여 sin 영역에서 모노펄스 기울기를 구하게 된다. 식 (3)은 모노펄스 기울기를 구하기 위해 linear array 안테나를 기준으로 모노펄스 각도오차 계산에 대한 수식을 전개한다.

여기서 S_slope는 모노펄스 기울기를 나타낸다. 위의 수식에서 보듯이 차 채널의 신호를 합 채널의 신호로 나눈 값의 imaginary 성분 값은 sin 영역에서 모노펄스 각도 오차를 나타내는 sin(θ_target)−sin(θ_ant)와 비례하며, 그 비례상수 S_slope가 모노펄스 기울기이다. 즉 모노펄스 기울기와 차 채널의 신호를 합 채널의 신호로 나눈 값의 imaginary 성분 값을 알고 있으면 모노펄스 각도 오차 sin(θ_target)−sin(θ_ant)를 알 수 있으며, 식 (4)와 같이 나타낸다.

모노펄스 각도 오차 수식을 기반으로 표적의 방향인 θ_target을 식 (5)으로 정확하게 구할 수 있다.

CFAR 신호처리를 수행한 결과의 HIT는 임계치(threshold) 값을 넘어서는 전력크기 값을 가지게 되고 이러한 HIT들의 위치는 표적이 존재하는 위치로 여겨지게 된다. 표적신호의 거리/도플러 방향의 신호가 크면, 실제 표적위치 외에 주변 셀의 위치에서도 HIT로 추출되기 때문에 실제 표적 HIT와 주변의 셀에서의 HIT들을 한 표적으로 클러스터링 하는 것이 필요하다.

클러스터링 알고리즘은 유사한 특성을 가진 데이터들을 같은 집단으로 분류하는 방법으로 레이다 신호처리에서는 대용량의 HIT들을 시스템 운용개념에 적합하고 실시간으로 데이터를 처리하기 위해서 클러스터링 알고리즘이 고안되었다^[8],[9].

본 논문에서는 거리/도플러 데이터에 대한 클러스터링 알고리즘을 제시한다. 다음의 그림 7은 클러스터링을 위한 거리/도플러 셀 검사 방법에 대해서 나타낸다. 그림에서 보듯이 HIT의 위치에 대한 전력크기를 저장하고 거리/도플러 셀에서 검사 순서에 해당하는 셀 인덱스를 부여한다. 여기서 셀 인덱스는 그림 7에서 보듯이 거리/도플러에 대한 레이다 영상에서 거리방향으로 먼저 부여하고 도플러 방향으로 순차적으로 부여한다. 2차원 거리/도플러 영역에서 위의 그림처럼 각 셀에 (1)부터 인덱스를 부여했을 때, 인덱스 순서에 따라 셀 (1)부터 차례로 HIT가 있는지 확인하고, HIT가 있다면 해당 셀의 인덱스와 전력의 크기를 저장한다. 그림에서 (3202)번째 셀에서 전력의 크기가 가장 크게 나오면 주변의 HIT 셀과 묶어서 클러스터를 형성한다.

그림 7. | Fig. 7. 클러스터링 알고리즘 신호처리 | The signal processing of clustering algorithm.

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형성된 클러스터에서 하나의 표적으로 추출하기 위해서 각 원소들에 대한 centroiding 방법을 통해서 표적의 위치와 속도를 최종적으로 획득할 수 있으며, 식 (6)으로 나타낸다. centroiding 방법은 한 표적에 대한 여러 개의 HIT들에 대해서 1개의 표적으로 생성하기 위해서 각 HIT의 전력크기를 가중치를 부여한 무게중심점을 찾는 방법이다.

여기서 M_c는 클러스터 c의 총 원소 개수를 나타내며, i_c(m)은 클러스터 c에서 m번째 원소의 셀 위치에 해당하는 셀 인덱스 값을 나타낸다. Y(i_c(m))은 클러스터 c에서 m번째 원소의 전력 크기 값을 나타내고, î_c는 클러스터 c에 해당하는 표적의 최종적으로 결정한 위치를 나타낸다.