다항식 기반 오메가-케이 알고리즘을 이용한 곡선기하에서의 고해상도 바이스태틱 SAR 영상생성에 대한 연구

Ⅰ. 서 론

합성개구면레이다(synthetic aperture radar: SAR)는 이동하는 레이다가 관심지역에 대한 전자기적 반사특성을 2차원의 형태로 영상화 하는 시스템이다. SAR의 경우, 기존 광학 센서와는 달리 주야 및 전천후로 원거리 지역을 관측할 수 있기 때문에 국방 및 민간의 산업 분야에서 다양하게 활용되고 있다.

현재까지의 SAR 영상생성에 대한 연구는 송/수신 레이다가 동일 위치에 위치한 모노스태틱 SAR(monostatic-SAR: M-SAR) 시스템을 중심으로 진행되어 왔다^[1]~[5]. 그러나 M-SAR의 경우, 동일 위치에서 레이다 송/수신이 이루어지는 특성으로 인해 운용 시나리오가 제한적이며 전자기 공격(jamming)에 취약한 단점이 있다. 또한 M-SAR 시스템에서는 촬영 지형 및 관심 표적에 대하여 다양한 산란(scattering) 메카니즘을 확보하는데 어려움이 있기 때문에 획득된 영상을 활용하는데 있어 그 한계가 있다.

상기의 문제점들을 보완하기 위해 최근 송/수신 레이다를 공간적으로 분리시켜 운영하는 바이스태틱 SAR (bistatic-SAR: B-SAR) 시스템에 대한 관심이 높아지고 있다^{[6]~[8],[11],[12]}. B-SAR 시스템은 서로 다른 위치에 위치한 송/수신 레이다가 이동하며 영상을 생성하는 구조로써 이는 전자기 공격에 강인함과 동시에 관측 지형에 대한 다양한 산란 정보를 확보 가능하게 한다. 특히 최근 우주산업 분야에서는 곡선으로 이동하는 다수의 위성에 레이다를 탑재하여 군집으로 운용하는 멀티스태틱(multistatic) SAR 시스템이 핵심 산업으로써 자리매김하고 있는 가운데^[9],[10], 위성 기하에서의 B-SAR 영상생성에 대한 연구는 상기 멀티스태틱 SAR 영상생성에 있어 선행적으로 이루어져야 하는 핵심 연구이므로 그 중요도가 매우 높은 상황이다.

B-SAR 시스템의 경우, M-SAR 시스템과는 다른 레이다 반사 신호 특성을 가지게 되므로 기존 M-SAR 시스템에서 사용되던 영상생성 기법들^[1]~[5]을 B-SAR 시스템에 직접 적용할 수 없다. 여기서 B-SAR 영상생성 연구의 핵심은 B-SAR 기하구조에서의 레이다 반사 신호를 모델링(modeling)한 후, 이에 적합한 신호처리 기법을 개발하는 것으로써 독일, 중국, 이탈리아 등의 항공우주 선진국에서는 관련 연구가 활발히 진행되고 있지만, 국내에서는 아직 미진한 상황이다. 국내에서 수행된 연구 중 참고문헌 [11]과 참고문헌 [12]에서는 공간적으로 분리된 송․수신 레이다가 직선으로 이동이며 영상을 생성하는 연구가 수행되었다. 그러나 직선으로 이동하는 송․수신 레이다의 기하특성은 항공기 B-SAR 시스템에 국한된 것으로써 이는 위성과 같이 플랫폼이 곡선으로 이동하는 상황에서는 활용이 제한된다. 특히 최근 국내에서 넓은 지역을 고해상도로 감시․관측하기 위한 위성용 SAR 시스템의 연구개발이 활발히 이루어지고 있음을 고려했을 때^[4],[5], 위성의 곡선기하를 고려한 B-SAR 영상생성 기술은 향 후 위성 운용에서의 다양한 시나리오를 구상하기 위한 핵심 기술임에도 불구하고, 국내에서 관련 연구는 전무한 상황이다.

본 논문에서는 송․수신 레이다가 곡선으로 이동하는 B-SAR 시스템에서의 영상 생성을 위한 연구를 수행하였다. 이 때 기존 M-SAR에서 활용되던 알고리즘들의 경우, 대부분 하이퍼볼릭(hyperbolic) 수학 모델을 기반한 것으로써 이는 곡선의 B-SAR 운용 기하에서는 큰 모델오차를 야기하여 그 활용이 제한된다. 상기 문제점을 해결하기 위해 본 논문에서는 곡선으로 이동하는 송․수신 레이다의 기하특성을 반영하기 위해 다항식(polynomial)으로 레이다 신호를 일반화시켜 모델링(modeling)한 후 이에 대한 주파수 위상신호를 도출하였다. 다음으로 기존 M-SAR 시스템에서 활용되던 오메가-케이 알고리즘(omega-K algorithm: OKA)의 개념을 확장하여 다항식 모델 기반으로한 OKA(polynomial-OKA: P-OKA)를 제안함으로써 곡선기하에서의 B-SAR 영상생성 기법을 확립하였다. 본 논문에서 수행된 연구의 실효성을 검증하기 위해 점표적을 이용한 시뮬레이션을 수행하였으며, 이를 통해 제안된 기법이 곡선기하에서의 B-SAR 영상을 성공적으로 생성함을 확인할 수 있었다.

Ⅱ. 곡선기하에서의 B-SAR 신호모델

그림 1은 곡선기하에서의 B-SAR 시스템에 대한 기하구조를 도시한다. 그림 1에서 x, y, 그리고 z는 각각 레이다 수직진행방향(cross-track), 레이다 진행방향(along-track), 그리고 지표고도 방향을 나타내며, 송/수신 레이다 S_TX와 S_RX는 동일 기준고도 z=0에 위치한 임의의 표적 P_p=[x_p,y_p,0]^T을 관측한다. 이때 S_TX와 S_RX 간 시간 동기화는 완벽히 된 것으로 가정한다.

그림 1. | Fig. 1. 곡선 궤적에서의 B-SAR 영상생성 기하구조 | Geometry for B-SAR imaging in curved-path.

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그림 1의 기하에서 S_TX가 스포트라이트(spotlight) 촬영모드로 처프(chirp) 신호를 방사한다고 가정했을 때, 정합필터링(matched filtering) 수행 후 임의표적 P_p에 대한 거리주파수(f_τ)-방위시간(η) 영역(domain)에서의 레이다 신호는 식 (1)과 같이 정의된다.

이때 c는 빛의 속도, f_c는 레이다 중심주파수, η_c 는 촬영시간에서의 중심시점, f_τ는 거리주파수(range frequency), η는 방위시간(azimuth time), W_r (  ·  )는 f_τ 방향으로의 포락선(envelop), 그리고 w_a (  ·  )는 η방향으로의 포락선을 나타낸다. 상기 식 (1)에서 R_BI (η;P_p)는 η의 변화에 따른 송/수신 레이다와 P_p 간 거리로써

으로 정의되며, R_TX (η;P_p)는 S_TX와 P_p 간 거리, 그리고 R_RX (η;P_p)는 S_RX와 P_p 간 거리를 나타낸다. 이때 SAR 분야에서 널리 활용되는 하이퍼볼릭(hyperbolic) 신호모델의 경우, 식 (2)에 대한 큰 모델오차를 야기하기 때문에 곡선기하에서의 B-SAR 영상생성 활용에 제한점이 있다. 이에 본 논문에서는 R_BI (η;P_p)를 아래와 같이 5차 다항식의 형태로 모델링하여 일반화 하였다.

식 (3)에서 k_i,p (i=0,1,2,3,4,5)는 P_p에 대한 5차 다항식 계수를 나타낸다. 이때 식 (3)에서의 다항식 차수는 운용시나리오 및 처리 특성에 따라 조정될 수 있지만, 본 논문에서는 참고문헌 [6], 참고문헌 [7], 참고문헌 [13]의 연구결과를 참고하여 고차 다항식으로 레이다 신호를 표현함으로써 다양한 운용시나리오에서 및 처리특성에 따른 강인성을 확보하였다.

표적 P_p에 대한 2차원 주파수 스펙트럼(spectrum)은 식 (4)와 같이 Ss_BI (f_τ,η;P_p)에 대한 η방향으로의 퓨리에 변환(Fourier transform: FT)을 통해 획득할 수 있다.

이때 식 (4) 내 위상함수 Φ(f_τ,f_η;P_p)는 정지위상 근사법(stationary phase approximation)을 통해 아래와 같이 계산된다.

식 (5)에서 η^*(f_η)는 정지위상 근사점(stationary phase point)으로써 식 (6)을 만족하는 방위시간이며, 이는 식 (7)과 같이 정리된다.

여기서 a_i,p=i k_i,p (i=1,2,3,4,5)는 식 (3)에 대한 미분계수이다. 이때 식 (7)과 같은 방적식 형태에서의 미지수 η^* (f_η)는 series reversion(SR) 기법^[7],[8]을 통해 구할 수 있으며, 그 결과는 식 (8)과 같다.

여기서, Y=cf_η/(f_c+f_τ)-a_1,p이며, SR기법을 통해 구한 계수 A_l,p (l=1,2,3,4)는 식 (9)와 같이 정의된다^[8].

식 (5)~식 (9)과정을 통해 5차 다항식 R_BI(η;P_p)에 대한 2차원 주파수 스펙트럼을 모델링함으로써 곡선 기하에서 B-SAR 영상 생성을 위한 주파수 신호를 일반화시킬 수 있다. 이때 식 (5)는 촬영영역 내 표적의 위치 P_p=[x_p,y_p,0]^T에 대한 함수로써, 곡선 기하에서의 SAR 영상생성에 있어 가장 중요한 부분은 촬영 전역 내에서 표적위치에 따라 변하는 주파수 신호특성을 고려하여 영상 품질 저해 요소를 보상하는 것이다. 이를 위해 본 논문에서는 다항식 주파수 위상함수 식 (5)를 기반으로 한 P-OKA알고리즘 제시하였으며, 이는 다음 절에 기술되어 있다.

Ⅲ. P-OKA를 이용한 곡선기하에서의 B-SAR 영상생성

본 논문에서 제안하는 P-OKA의 가장 큰 특징은 일반화된 다항식 신호모델 기반으로 수행된다는 점이다. 이 때 고해상 SAR 운용 시나리오에서 획득되는 신호의 경우, 도플러 주파수 대역폭이 펄스 반복 주파수(pulse repetition frequency: PRF)보다 큰 특성을 가지게 되고, 이는 도플러 방향으로의 신호 에일리어싱(aliasing)을 야기하여 식 (4)의 왜곡을 초래한다. 더불어 바이스태틱 운용각이 커질 경우, 레이다-표적 간 거리함수의 선형 성분이 증가하게 되는데, 이는 f_τ의 변화에 따른 도플러 중심주파수의 이동을 초래함으로써 추가 에일리어싱을 발생시킨다^[7],[8],[14]. 상기 문제점들을 해결하기 위해 본 논문에서는 먼저 서브-구간(sub-aperture) 단위로 신호를 분활한 후^[7],[8], 각 서브-구간 별로 참고문헌 [14]에서의 주파수 확장(spectral extension) 기법 및 제안된 P-OKA를 수행함으로써 상기 도플러 신호의 왜곡 문제를 해결하였다.

각 서브-구간에서의 P-OKA 수행 과정에서는 먼저 식 (10)과 같이 촬영영역 내 중심 표적 P_ref=[0,0,0]^T에 대한 기준점 보상(reference function multiplication: RFM)이 수행된다.

여기서 ΔΦ_BI,RFM (f_τ,f_η;P_p)은 RFM 수행 후의 잔여 위상으로써 이는 식 (11)과 같이 정의된다.

식 (11)에서 확인할 수 있는 바와 같이 ΔΦ_BI,RFM(f_τ,f_η;P_p) 은 촬영영역 내 표적 P_p=[x_p,y_p,0]^T의 위치 (x_p,y_p)에 대한 함수나 수 킬로미터 정도의 좁은 영역을 관측하는 고해상도 SAR의 운용 특성상 레이다 진행방향 (y)로의 위상변화는 매우 작다. 이에 식 (11)은 식 (12)와 같이 근사될 수 있다.

P_p(x)=[x_p,0,0]^T는 레이다 수직진행방향(x)으로 분포한 표적을 나타낸다. 여기서, 2차원 주파수영역에서 수행되는 오메가-케이 계열의 방식들에서는 상기 식 (12)를 식 (13)과 같이 공간변위(spatial-variant) 항 ν_BI[f_η;P_p (x)]와 비변위(spatial-invariant) 항 u_BI (f_τ,f_η)으로 분리(decomposition)한 후 공간 비변위 항 u_BI (f_τ,f_η)에 대한 스톨트-내삽법(stolt-interpolation)을 수행함으로써 잔여위상오차를 보상한다.

이때 하이퍼볼릭 신호모델을 기반하는 일반 OKA에서는 수학식 전개를 통해 식 (12)을 식 (13)의 형태로 간단하게 분리하여 표현할 수 있지만, 본 논문에서의 일반화된 다항식 신호모델을 이용할 경우, 2차원 주파수 위상의 복잡한 형태로 인해 수학식 기반으로 위상신호를 분리하는데 어려움이 있다.

이를 해결하기 위해 본 논문에서는 최소자승법 기반의 분해법(least-squares fitting based decomposition: LSD)을 이용하여 ΔΦ_BI,RFM (f_τ,f_η;P_p)을 식 (13)의 형태로 분리한다. LSD를 수행하기 위해서는 먼저 공간변위 위상 항 ν_BI [f_η;P_p (x)]을 k_0,Px-k_0,P ref으로 가정함으로써 u_BI (f_τ,f_η) 을 (14)와 같이 나타낸다.

다음으로 상기 u_BI (f_τ,f_η)의 각 f_η 별로 최소자승기법을 적용함으로써 식 (14)를 식 (15)와 같이 f_τ에 대한 3차 다항식의 형태로 나타낸다.

이때 α_l(f_η)(l=0,1,2,3)는 ${\widehat{u}}_{BI}\left(f_{\tau },f_{\eta }\right)$에 대한 다항식 계수이며, 이는 식 (16)을 최소화하는 해를 찾음으로써 획득할 수 있다.

LSD 과정을 통해 획득한 공간비변위 함수 ${\widehat{u}}_{BI}\left(f_{\tau },f_{\eta }\right)$는 식 (17)과 같이 스톨트-내삽법(Stolat-interpolation)을 위한 새로운 거리-주파수 $f_{BI}^{STOLT}$으로 정의된다.

정의된 $f_{BI}^{STOLT}$을 이용하여 식 (10)의 SS_BI(f_τ,f_η;P_p)에 스톨트-내삽법을 적용한 결과는 식 (18)과 같다.

상기 식 (18)에서와 같이 LSD 기반의 스톨트-내삽법을 통해 RFM 수행 후 잔여위상오차 성분이 보상됨을 확인할 수 있으며, 이에 대한 결과로 식 (18)에 2차원 퓨리에 변환을 적용함으로써 곡선기하에서의 B-SAR 영상을 성공적으로 획득할 수 있다.

그림 2는 제안된 P-OKA 기법의 순차도(flow-chart)를 도시한다.

그림 2. | Fig. 2. 제안된 기법의 순차도 | Overall flow chart for proposed method.

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Ⅳ. 시뮬레이션 결과

본 절에서는 점표적을 이용한 B-SAR 영상생성 시뮬레이션 결과를 기술한다. 시뮬레이션에서는 공간적으로 분리되어 이동하는 Tx와 Rx가 그림 1의 기하에서 V_SAT= 7,583 m/s의 속도로 곡선 궤도를 이동하며, 완전 구형의 지구표면(지구 반지름=6,371 km)에 위치한 9개의 점표적에 대한 촬영을 수행하였다. 이때 점표적은 그림 3과 같이 촬영영역 5 km × 2 km 촬영영역 내 분포되어 있으며, Tx와 Rx는 처프신호 기반의 스포트라이트(spotlight) 모드로 운용된다.

그림 3. | Fig. 3. 시뮬레이션을 위한 표적 배치도 | Target deployments for simulations.

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본 논문에서는 다양한 B-SAR 운용기하에서 제안된 기법의 효용성(effectiveness)을 검증하기 위해 바이스태틱 각도 θ= 6.68°와 θ=22.73°에 대한 시뮬레이션을 각각 수행하였으며, 이에 사용된 주요 파라미터는 표 1에 정리되어 있다.

4-1 시뮬레이션1: θ=6.68°

본 절에서는 제안된 B-SAR 영상생성 기법을 검증하기 위해 바이스태틱 각도 θ=6.68°인 운용기하에서의 시뮬레이션을 수행하였다. 이 때 Tx와 Rx는 170 km 떨어진 거리에서 곡선으로 이동하며 표적을 관측하였으며, 관측 과정에서 획득된 신호는 그림 4와 같다.

그림 4. | Fig. 4. B-SAR 수신신호(θ=6.68°) | B-SAR received signal(θ=6.68°).

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그림 4의 획득된 신호는 고해상 운용 특성으로 인해 도플러 스펙트럼이 PRF보다 작아 위상왜곡이 발생하게 된다. 이에 본 논문에서는 참고문헌 [2], 참고문헌 [14]을 참조하여 서브-구간단위로 처리 및 스펙트럼 확장 하에 제안된 P-OKA를 수행하였으며, 그 결과로 그림 5(a)와 같이 신호왜곡 없는 P-OKA 주파수 스펙트럼 결과를 획득하였다. 획득된 스펙트럼에 대한 2차원 FT를 수행한 결과인 B-SAR 영상은 그림 5(b)와 같다. 여기서 품질결과를 보다 더 정밀하게 분석하기 위해 그림 5(b) 내 노란색으로 표시된 A, B, C의 확대영상을 그림 6과 같이 생성하였으며, 이에 대한 품질지표는 표 2에 정리되어 있다. 그림 6과 표2의 결과에서와 같이 θ=6.68°인 운용기하에서 제안된 처리과정을 통해 촬영영역 전역에 대한 B-SAR 영상이 성공적으로 생성됨을 확인할 수 있었다.

그림 5. | Fig. 5. P-OKA 수행결과(θ=6.68°) | Results for P-OKA(θ=6.68°).

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표 2. | Table 2. 그림 6에 대한 영상품질 파라미터 | Image quality parameters in Fig. 6.

	PSLR(dB)	ISLR(dB)	IRW(m)
TargetA	Range.: −13.23	Range: −10.18	Range: 0.38
	Azimuth.: −13.27	Azimuth: −10.25	Azimuth: 0.40
Target B	Range.: −13.25	Range: −10.16	Range: 0.38
	Azimuth.: −13.27	Azimuth: −10.24	Azimuth: 0.40
Target C	Range: −13.25	Range: −10.19	Range: 0.38
	Azimuth: −13.28	Azimuth: −10.25	Azimuth: 0.40

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그림 6. | Fig. 6. 그림 5(b) 내 표적 확대영상 | Enlarged target imaes in Fig. 5(b).

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4-2 시뮬레이션1: θ=22.27°

본 절에서는 상기 절에서의 시뮬레이션 환경 대비 바이스태틱 각도가 상대적으로 큰 운용기하에서 제안된 B-SAR 영상생성 기법을 검증하였다. 이때 Tx와 Rx는 370 km으로 멀리 떨어져 있으며, 바이스태틱 운용각도는 θ=22.73°이다.

그림 7은 θ=22.73°에서 획득된 B-SAR 반사신호를 도시하며, 서브-구간 합성법 기반의 P-OKA 수행 결과는 그림 8과 같다. 이때 본 시뮬레이션에서는 바이스태틱 운용 기하 특성으로 인해 고 스퀸트(squint)기하에서와 유사하게 레이다-표적 간 거리함수의 선형성분이 주요하게 된다^[6]. 이는 그림 8(a)에서와 같이 비틀어진(skew) 형태의 2차원 주파수 스펙트럼을 만들어내게 되고, 그 결과로 획득된 B-SAR 영상의 점산란강도함수(impulse response function: IRF)는 그림 8(b)와 같이 회전된 형태로 나타나게 된다.

그림 7. | Fig. 7. B-SAR 수신신호(θ=22.73°) | B-SAR received signal(θ=22.73°).

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그림 8(b) 내 표적 A, B, C에 대한 확대영상 및 품질지표를 그림 9와 표 3에 나타내었으며, 이를 통해 제안된 기법을 이용할 경우 바이스태틱 각도가 큰 운용환경에서도 성공적으로 B-SAR 영상이 생성됨을 확인할 수 있었다.

그림 8. | Fig. 8. P-OKA 수행결과(θ=22.73°) | Results for P-OKA(θ=22.73°).

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그림 9. | Fig. 9. 그림 8(b) 내 표적 확대영상 | Enlarged target imaes in Fig. 8(b).

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표 3. | Table 3. 그림 9에 대한 영상품질 파라미터 | Image quality parameters in Fig. 9.

	PSLR(dB)	ISLR(dB)	IRW(m)
Target A	Range: −13.27	Range: −10.24	Range: 0.35
	Azimuth: −13.28	Azimuth: −10.40	Azimuth: 0.44
Target B	Range: −13.26	Range: −10.24	Range: 0.35
	Azimuth: −13.28	Azimuth: −10.41	Azimuth: 0.44
Target C	Range: −13.27	Range: −10.25	Range: 0.35
	Azimuth: −13.28	Azimuth: −10.40	Azimuth: 0.43

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Ⅴ. 결 론

본 논문에서는 곡선기하에서의 B-SAR 영상 생성기법에 대한 연구를 수행하였다. 이를 위해 먼저 곡선으로 이동하는 송/수신 레이다의 운용 특성을 고려하여 기존 M-SAR 분야에서 일반적으로 활용되는 하이퍼볼릭 수학모델이 아닌 5차 다항식의 모델로 레이다 신호를 일반화 하였으며 이에 대한 주파수 위상신호를 수학적으로 도출하였다. 다음으로 상기 일반화된 다항식 신호모델에 적합한 영상처리를 위해 기존 OKA의 개념을 확장한 P-OKA를 제안함으로써 곡선 기하에서의 B-SAR 영상 생성을 수행하였다. 제안된 기법의 효용성을 검증하기 위해 서로 다른 바이스태틱 운용 각도에서의 점표적 생성 시뮬레이션을 수행하였으며, 이를 통해 제안된 기법이 다양한 운용 시나리오에서 B-SAR 영상을 성공적으로 만들어냄을 확인하였다.