압축센싱 기반 SAR 영상 복원 가속화를 위한 랜덤 하이브리드 첩-센싱 행렬 구현

압축센싱 이론은 식 (1)과 같이 선형 방정식으로 구성된 시스템에서 주어진 관측 데이터보다 큰 크기의 원 데이터를 복구하는 방법을 제시한다. 원신호 x은 산재성 조건을 만족해야 한다고 알려져 있으며, 압축센싱 이론은 다음의 등식을 찾는 것이 핵심이다.

식 (1)의 관측신호 y는 산재한 신호 x에 A라는 행렬(또는 변환)을 곱한 값으로 표현된다. 일반적으로 많은 신호들은 산재율이 높지 않고, 어떤 영역으로 변형을 시킴으로써 대부분의 값이 0이 되는 희소신호가 된다. 따라서 x가 직접적으로 희소한 신호가 아닐 때에는 선형 변형과정이 필요한데, 이 과정은 식 (2)와 같이 나타낼 수 있다^[11].

예를 들어 신호s가 시간영역의 신호라면 T는 푸리에변환으로 보고, 벡터x는 주파수 영역에서 계수 벡터다.

즉, 식 (3)에서 볼 수 있듯이, 희소하게 변형된 원 신호 x_n×1와 센싱행렬 A를 곱한 관측 신호y에 압축 센싱 복원 기법을 적용하여 원 신호와 유사한 신호를 복원한다^[5].

압축센싱 이론의 핵심요소는 신호를 복원할 때의 압축센싱 알고리즘과 A_m×n에 해당하는 센싱 행렬식이다. 센싱 행렬식은 크게 랜덤 센싱 또는 결정 센싱 기반으로 분류되는데, 본 논문에서는 결정 센싱 행렬식 중에서도 첩 센싱 행렬식을 변형하여 기존의 문제점을 보완하는 새로운 방법을 제시한다.

압축센싱 행렬식이 RIP 조건을 만족한다면 신호의 복원을 확신할 수 있게 된다^[4]. 따라서 첩 센싱 행렬식을 구성하기 위해서는 먼저 신호 복원성능 지표인 RIP 조건을 다음과 같이 고려해야 한다.

0 < δ_M < 1는 RIC(RIP constant)라고 불리는 상수이며, 이 상수가 0에 가까울 때 희소 신호x를 잘 복원할 수 있기에 RIP 조건이 의미를 가진다^[11],[12]. A_Λ는 A행렬의 열 성분으로 만든 서브 행렬로, M개의 0이 아닌 값을 갖는다^[13]. A_Λ와 δ_M은 산재율 및 행렬의 복원 성능을 결정하는 변수의 역할을 한다^[13].

코히어런스(coherence)는 결정행렬식에 대한 보다 실질적인 측정치다. 위 행렬식 A의 열방향 요소를 a₁, a₂ …, a_n 이라고 했을 때, A의 코히어런스는 다음과 같이 나타낼 수 있다^[8],[14].

코히어런스는 RIC와 근본적으로 관계가 있는데, 이는 다음의 식에서 볼 수 있다^[15].

즉, 낮은 코히어런스를 가지는 행렬일수록 RIP조건을 잘 만족시키고, 높은 확률으로 희소신호를 복원할 수 있다는 것을 알 수 있다^[14]. A∈C^m×n, m≤n인 행렬식의 최대 코히어런스 값의 하한선을 m과 n에 대한 식으로 나타낼 수 있다^[16]. 이는 설계된 센싱 행렬식을 평가하는데 유용하게 사용된다. Welch bound라고 불리는 코히어런스의 하한선은 식 (7)과 같다^[17],[18].

첩센싱의 경우 n=m², 즉 코히어런스의 하한선은 약 $\frac{1}{\sqrt{m}}$로 n, m의 차이가 크지 않은 행렬식에 비해 높은 편이다.

대부분의 결정 센싱 행렬식은 랜덤 센싱 행렬식과 비교하여 상대적으로 각 행 함수간의 간섭, 즉 식 (5)의 코히어런스가 증가하는 성질을 가지고 있고, 이는 식 (4)의 δ_M을 높여 복원성능을 떨어뜨린다. 따라서 본 논문에서는 기존의 결정 센싱 행렬식에 스토케스틱한 성질을 추가하여 행렬식 내부의 상호 간섭을 줄이고, 코히어런스를 낮추는데 중점을 두었다. 이 과정은 식 (4)의 RIP 조건의 제한을 완화시켜 복원성능을 높일 수 있을 것이라 기대되며, Ⅲ에서 실험적으로 검증했다.

첩 센싱 행렬식은 결정 센싱 행렬식 중 하나로, 행렬의 열 부분을 여러 개의 첩으로 나누어 생성함으로써 계산의 복잡성을 줄여 빠른 재구성을 돕는다. 첩 센싱 행렬식을 사용하여 신호를 복원하는 과정을 CC-CS(chirp code compressive sensing)라고 부르며, 이는 표적에 대한 정보를 효율적으로 압축 전달할 수 있어 오랫동안 레이다 분야에서 활용되어 왔다. 본 논문에서는 기존 알려진 첩 기반 센싱 행렬식에 잡음 성분을 결합하여 진보된 특성을 획득한다.

첩 센싱 행렬식은 행렬의 각 열에 임의로 생성된 복수의 첩을 저장하여 생성한다. 첩 센싱 행렬식 A의 길이는 소수(prime)로 정의된 K이고^[19], 크기는 K×K²이며 식(8)과 같이 나타낼 수 있다.

v_k는 첩 센싱 행렬식 A의 (k+1)열에 해당하는 벡터로 인덱스 k는 아래와 같이 나타낸다^[13].

r과 m은 각각 첩 코드의 첩 변조율(chirp rate)과 기저 주파수(base frequency)이며, Z_K={0, 1, 2, …, K−1}의 범위를 가진다. 첩센싱 기반 압축센싱은 m과 r을 매개 변수로 채택하며, 산재 벡터를 복원하여 해를 갖는 조건은 행렬 크기 K가 소수로 정의되는 것이다^[19]. 이 때 A의 열벡터인 v는 식 (10)과 같이 생성된다^[13].

l은 첩 코드의 벡터요소 인덱스(index)다. 예를 들어 K가 17이면 v₃은 v_m=3,r=0(l), v₂₆은 v_m=9,r=1(l)으로 나타낼 수 있다. 식 (11) 및 식 (12)는 각각 희소 신호 벡터와 관측된 신호다.

이 때 희소신호 벡터 x와 첩 센싱 행렬 A의 곱으로 압축된 관측신호 y는 다음과 같다^[13].

하이브리드 첩 센싱 행렬식을 사용하여 관측신호를 만든 후, 원래 신호를 복원하는 과정은 크게 첩 변조율(r_i), 초기 주파수(m_i), 원 신호(x_i)를 순서대로 찾는 것으로 이루어져 있다. CTs는 cross-terms이며^[13], 첩 변조율 r_i는 식 (14)의 f_l로부터 찾을 수 있다.

f_l은 FFT(fast Fourier transform)를 통해 $\frac{2r_{i}T}{K}$의 주파수 성분을 가지며, $\frac{2r_{i}T}{K}$와 r_i사이에는 일대일 대응 관계의 전담함수(bijection)가 존재한다^[13]. K가 소수라면 $\frac{2r_{i}T}{K}$는 실제로 $\frac{2r_{i}T\mathrm{mod}K}{K}$와 같기 때문에, {r_i | r_i ∈ Z_K}와 $\left\{\frac{2r_{i}T\mathrm{mod}K}{K}\mid r_i\in Z_K\right\}$사이에도 전담함수가 존재한다^[13]. 따라서 r_i를 구할 수 있다. 첩 변조율을 얻고, 신호 y_l에 $e^{-\frac{j2\pi r_i{l}^2}{K}}$을 곱하여 디처핑(dechirping)하면 고속 푸리에 변환을 통해 m_i, x_i을 구할 수 있으며^[19], 신호를 복구할 수 있다.

RIP 조건을 대입하면 첩센싱 행렬식의 길이가 K로 주어질 때 복원가능한 산재 성분의 크기 M은 다음과 같이 결정됨을 보일 수 있다고 알려져 있다^{[19].[20].[21]}.

이는 M의 상한선과 K의 하한선을 보여주며, 이를 만족시킨 첩 센싱 행렬식을 설계하면 높은 확률로 신호 복원을 수행할 수 있다. 다만 복원 가능한 산재 성분의 크기가 K의 제곱근에 비례한다는 제약이 있다.

식 (15) 및 식 (16)은 데이터 길이가 소수 N인 첩 신호에 대하여 첩-푸리에 변환을 하면 결과의 최대값 대비 사이드로브가 $1/\sqrt{N}$을 넘지 않는 성질과 관계가 있다^[21]. 본 논문에서는 첩-푸리에 변환식의 선형성을 변형한 비선형-첩 푸리에 변환을 도입하여 첩푸리에 변환의 사이드로브를 낮추고, 이를 통해 식 (15)로 표현되는 산재도의 제한을 완화시키는 알고리짐을 제안한다. 이를 위해 선형 첩 변화율을 갖는 첩센싱 행렬식의 성분의 위상과 크기의 변화율에 랜덤 특성을 인가하여 행렬 성분간의 독립성을 높이고자 한다.

본 논문에서 제안하는 랜덤 기반의 첩 센싱 행렬식은 기존의 첩 센싱 행렬식과 스토케스틱(stochastic) 기반 랜덤 신호의 하다마드(hadamard) 곱(°)으로 구현된다. 랜덤신호를 사용함으로써 기존의 첩 센싱 행렬식보다 행렬식 내부에서의 직교성(orthogonality)을 높여주고 이는 압축센싱의 복원 능력을 개선하는데 기여한다.

그림 1에서 관측된 신호 x를 랜덤 첩 센싱 행렬식을 사용하여 압축된 신호 y로 변형하는 과정을 볼 수 있다. 스토케스틱 신호는 랜덤 진폭(a_l)과 랜덤 위상(θ_l)으로 구성된 복소 신호의 집합이다. 랜덤 진폭 a_l은 원신호의 최대 진폭에 가중치 a를 곱한 값을 평균으로 하고 가중치 b를 최대 진포 변이로 하는 스토캐스틱 함수이다. 랜덤 위상 θ_l은 가중치 c를 최대 변이로 갖는 스토캐스틱 함수이다.

그림 1. | Fig. 1. 하이브리드 첩 센싱 행렬식을 통한 신호 압축과정 | The process of signal compression through the hybrid chirp sensing matrix.

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하이브리드 첩 센싱 행렬식의 구조는 식 (17)과 같고, 이 때 각 열은 랜덤 진폭과 위상을 결합하여 식 (18)과 같이 생성했다.

희소 신호 벡터와 관측된 신호가 식 (11) 및 식 (12)의 형식일 때, 관측신호는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

본 논문에서 제안하는 센싱 행렬식은 첩 센싱 행렬식을 기저대역으로 하며, 랜덤 진폭 및 위상 천이의 영향으로 변형된 랜덤 행렬식을 조합하여 부분적인 잡음이 포함된 하이브리드 랜덤 센싱 행렬식으로 구성된다. 이러한 랜덤 신호와의 결합은 압축센싱 알고리즘에 입력되는 산재 신호간의 비간섭성 즉 상호 독립성을 높여주며 결과적으로 복원 성능에 긍정적 영향을 준다.

그림 2(a)는 첩 센싱 행렬식 성분 함수이고, 그림 2(b)는 그림 2(a)를 기저 신호로 하여 랜덤한 성질을 추가한 랜덤 위상 신호 변조가 적용된 첩 센싱 행렬식 성분 함수를 보인다. 그림 2(b)의 경우 스토케스틱 신호의 효과로 신호 특성이 불규칙해지고, 잡음과 유사해짐으로써 상호독립성이 증가한다.

그림 2. | Fig. 2. 랜덤 위상 변조 기반의 첩 센싱 행렬식 | Random phase modulation-based chirp sensing matrix.

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하이브리드 CC-CS는 크게 신호 압축, 복원과정으로 이루어지며, 그림 3에서 볼 수 있다. 먼저 크기가 K×K²인 첩 센싱 행렬식을 생성하고, 랜덤 위상(θ_l) 및 진폭(a_l)의 성질을 가진 스토캐스틱 신호와 곱(°)하여 하이브리드 첩 센싱 행렬식을 생성한다. 생성된 하이브리드 첩 센싱 행렬식으로 압축된 신호를 복원하는데, 복원과정은 기존의 CC-CS와 유사하다. 단, 디처핑 과정에서 신호 y_l에 $a_l{e}^{-\frac{j2\pi r_i{l}^2}{K}+{\theta }_l}$을 곱한다는 점에서 차이가 있다. ‘Recovery process’에 해당하는 복원 알고리즘은 M번 반복이 끝나거나 y_l의 에너지가 ϵ보다 커지면 종료된다^[19]. M은 최대 반복 횟수로, ϵ은 복원과정의 오류를 줄이기 위해 y_l의 에너지, 즉 y_l의 norm-2의 한계 값으로 설정한 값이다^[13].

그림 3. | Fig. 3. 하이브리드 CC-CS 과정 | Hybrid CC-CS processing block diagram.

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본 논문에서 제안하는 복원방법은 기존 첩 센싱 행렬식 사용의 제한 요소를 완화하고 성능을 개선한다. 이를 위해 K×K²크기의 선형 주파수 변조 형태로 길이를 자유롭게 변형 가능하며, 랜덤 진폭과 위상의 조절을 통해 스토케스틱 신호의 영향을 가변적으로 조절하여 성능을 개선한다.

제안된 하이브리드 첩 센싱 행렬식의 복원성능을 확인하기 위하여, 기존의 방법과 제안된 방법으로 표적을 복원하여 비교한다. 모의실험 과정에서 주파수가 다른 5개의 신호를 합하여 임의의 신호를 생성하였고, 주파수 영역에서의 계수를 표적이라 가정하여 복원했다. 행렬식의 길이가 되는 K는 17로 설정했다. 기존 방식과의 성능 차이를 정량적으로 분석하기 위해 표적 데이터만을 고려하고 신호의 잡음 지수는 매우 낮다고 가정하였다.

그림 4는 기존의 방법, 본 논문에서 고안된 방법으로 복원 후 성능 차이를 보여준다. 그림 4(a)와 그림 4(b)는 두 방법으로 복원했을 때의 결과를 각각 시간 영역과 주파수 영역에서 보인다. 그림 4의 그래프들에 실선으로 나타난 신호는 처리 전, 즉 손실되기 전의 신호에 해당하며, 그림 4(a)와 그림 4(b) 각각의 첫 번째 그래프는 기존의 CC-CS를 통해 복원한 결과고, 두 번째 그래프는 하이브리드 CC-CS를 통해 복원한 결과다. 기존 첩센싱 방식에서는 산재 데이터가 증가하면서 데이터 복원 오류가 발생하였으나 하이브리드 CC-CS 방식에서는 원래의 표적 데이터와 정확하게 일치되도록 복원되어 기존 방식의 산재율 제약을 성공적으로 극복함을 확인하였다.

그림 4. | Fig. 4. 하이브리드 첩 센싱 행렬식을 통한 복원성능의 우수성 | Excellence of recovery performance through the hybrid chip sensing matrix.

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기존의 첩센싱 행렬식은 일정한 규칙의 위상 패턴식을 사용하므로 표적의 산재도 환경이 나빠질 경우, 탐지 성능이 급격히 저하되는 단점이 있다. 하이브리드 첩 센싱 행렬식은 진폭과 위상 변화의 범위를 임의로 조절하여 잡음에 대한 내구성이 강화되고, 이에 따라 산재 표적의 증가에도 대처하기 용이하다. 그림 5는 표적의 수가 증가하면서 대상 표적의 산재도가 나빠질 때 첩 센싱과 하이브리드 첩 센싱의 복원성능을 비교한 결과이다.

그림 5. | Fig. 5. 표적의 개수에 따른 복원성능 비교 | Comparison of recovery performance according to the number of targets.

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본 시뮬레이션에서 K=17로, 첩 센싱 행렬식의 복원에서의 표적 개수 상한선은 식 (15)에서 2∼3개인 것을 알 수 있다. 그림 5에서 기존 첩 센싱 방식은 표적이 복원에 요구되는 2∼3개보다 많아질 때 희소성이 낮아지면서 복원성능이 저하되는 반면, 하이브리드 첩 센싱 기반의 복원은 높은 성능을 유지한다. 이는 기존의 첩 센싱 행렬식에 랜덤한 성질을 더하면서 식 (5)의 코히어런스가 낮아지고, RIP 조건의 제한이 완화되어 복원을 위해 요구되는 표적의 기준이 완화된, 즉 복원성능이 좋아진 것을 증명한다.

하이브리드 첩센싱은 랜덤 진폭과 위상을 가변적으로 조절하여 복원성능을 최적화 시킬 수 있다. 식 (19)의 압축된 신호에서 랜덤 진폭과 랜덤 위상을 조절하면 그림 6과 같은 결과를 얻을 수 있다. 랜덤 진폭과 위상을 조절했을 때 각각의 복원성능(MSE) 값은 객관적인 비교를 위해 100번 측정하여 평균을 낸 값이며, 조절에 따른 복원성능 결과가 상이한 것을 볼 수 있다. 본 연구에서는 랜덤 진폭을 랜덤한 수에 특정 값을 곱하고 더해서 가변적으로 조정할 수 있도록 설정했다. 그림 6(a)는 랜덤 진폭과 위상의 범위를 지정하는 계수 a, b의 값을 조정하여 복원성능이 최고가 되는 영역을 찾는 과정이다. a=0.9, b=0.4에서 MSE가 최저가 됨을 확인할 수 있다. 랜덤 위상 또한 가변적인 조절을 위해 가중치 c를 더하게 되는데, 더해진 값에 따른 결과는 그림 6(b)의 그래프를 통해 확인할 수 있다. 앞의 결과들은 랜덤 위상과 진폭의 값에 따라 식 (5)의 코히어런스가 달라진 결과로 판단되며, 따라서 이들의 가변적 조절을 통해 복원성능을 향상시킬 수 있음을 확인했다.

그림 6. | Fig. 6. 랜덤진폭, 위상 조절에 따른 복원성능 | Recovery performance according to random amplitude, phase adjustment.

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그림 7은 위에서 랜덤 진폭과 위상에 따른 복원성능이 최적화 되도록 조절한 결과를 보여준다. 복원 성능은 대상이 되는 산재 표적의 분포에 따라서 영향을 받으며 따라서 표적 획득 시나리오에 따라 랜덤 진폭과 위상을 가변적으로 조절하여 성능 향상을 기대할 수 있다.

그림 7. | Fig. 7. 랜덤 위상 및 진폭 최적화에 따른 복원성능 | Recovery performance by the optimized random phase and amplitude.

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