레이다 모션에 따른 STAP 위상 보상

그림 1은 2차원 Spotlight mode로 동작하는 항공 탑재 레이다 환경으로 레이다는 한 CPI 구간에서 지상 표적영 역에 주기적으로 펄스를 송수신한다. 편의상 첫 번째 펄스를 송신하는 순간의 레이다 위치를 원점으로 나타냈다. 레이다는 N개의 배열 안테나로 구성되어 있으며, y축을 따라 v_p의 속도로 이동하며, 표적 영역에는 v_t의 속도를 갖는 하나의 이동표적이 존재한다. (R_0,x,R_0,y)는 표적 영역의 중심 좌표이며, (R_i,x,R_i,y)는 i번째 클러터 패치의 좌표를 나타낸다. r_i,m과 θ_i,m은 m번째 펄스 송신 순간의 레이다 위치와 i번째 클러터 패치 사이의 거리 및 입사각도, $i_{t,m}\left(\left|{\widehat{i}}_{t,m}\right|=1\right)$는 m번째 펄스 송신 순간의 레이다 플랫폼에서 표적을 가리키는 방향 벡터, α는 x축과 v_t−v_p사이의 각도이다. 편의상 첫 번째 안테나 배열소자는 송수신을 모두 담당하며, 나머지 N−1개의 배열소자는 수신모드로만 동작한다고 가정하자. 삼각함수 정의에 의해 θ_i,m은 ${\theta }_{i,m}={\tan }^{-1}\left(\frac{R_{i,y}-m\times v_p\times T}{R_{i,x}}\right)$으로 표현되며, m번째 펄스가 i번째 클러터 패치에 산란되어 수신되는 신호의 도플러 주파수 f_i,m은 첫 번째 배열 소자를 기준으로 보면 $f_{i,m}=\frac{2}{\lambda }{v}_p\sin \left({\theta }_{i,m}\right)$으로 표현할 수 있다. 여기서 λ는 전파의 파장, T는 PRI이다.

그림 1. | Fig. 1. Spotlight mode SAR 환경 | Spotlight mode SAR environment.

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각도 조향 벡터를 구하기 위해서는 CPI 구간 동안 레이다 위치 변화에 따라 위상 보상을 하여야 한다. 즉, 첫 번째 펄스와 m번째 펄스 송신 순간 레이다 위치와 클러 터 패치 사이의 거리 차는 (r_i,1−r_i,m)이므로 $e^{\frac{-j4\pi \left(r_{i,1}-r_{i,m}\right)}{\lambda }}$을 곱하여 보상해야 CPI 구간에서 수신된 신호들을 하나의 도플러-각도 조향(steering) 벡터로 처리할 수 있다. 이를 고려한 각도 조향 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 ${\overline{\theta }}_{i,m}=\frac{d}{\lambda }\sin {\theta }_{i,m}$은 θ_i,m를 정규화한 각도, d는 안테나 배열소자 사이의 거리이다. 첫 번째 배열 소자 위치를 기준으로 매 펄스마다 변하는 레이다 위치를 고려한 도플러 조향 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때, ${\overline{f}}_{i,m}=\beta {\overline{\theta }}_{i,m}$은 정규화한 도플러 주파수이고, $\beta =\frac{4v_{p}T}{\lambda }$이며, 매 펄스마다 도플러 주파수가 변하는 것을 보여준다. 식 (1), (2)에는 배열 소자 위치에 따른 입사각 및 도플러의 미세한 차이를 수식에 포함시키지 않았다. 하지만 Ⅳ장 시뮬레이션 과정에서는 이를 모두 반영해서 배열 소자 별로 클러터 및 표적에 의해 산란되는 신호를 시뮬레이션하였다.

i번째 클러터 패치로부터 산란되어 수신되는 신호의 각도-도플러 조향 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있다.

b_i,m은 b_i의 m번째 엘리먼트의 값이고, a_i,m은 m번째 PRI의 각도 조향 벡터이며, 이 경우 v_i는 NM×1 벡터이다. 전체 클러터로부터 산란된 신호 $X_c\in {ℂ}^{NM}=\left[x_c^1{x}_c^2\cdots x_c^{NM}\right]$는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다^[3].

여기서 ${\widetilde{\text{γ}}}_i$는 i번째 클러터 패치의 반사계수를 나타내는 복소 랜덤 변수, N_c는 iso-range 클러터 링(ring) 에 존재하는 클러터 패치 개수를 나타낸다^[13]. 이동 표적으로부터 산란된 신호는 클러터 패치로부터 산란된 신호를 계산했을 때와 동일하게 계산할 수 있다. 즉, m번째 펄스에 의해 표적으로부터 산란된 신호의 입사각이 θ_t,m이면 이때 도플러 주파수 f_t,m은 $f_{t,m}=\frac{2}{\lambda }\left(v_t-v_p\right)\cdot {\widehat{i}}_{t,m}=\frac{2}{\lambda }\left|v_t-v_p\right|\cdot \cos \left(\alpha +{\theta }_{t,m}\right)$으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 표적 산란 신호 벡터 X_t는 X_t=b_t⊗a_t가 되며, a_t, b_t는 식 (1), (2)에서 ${\overline{\theta }}_{i,m},{\overline{f}}_{i,m}$대신 ${\overline{\theta }}_{i,m}=\frac{d}{\lambda }\sin \left({\theta }_{t.m}\right),{\overline{f}}_{i,m}=\frac{2T}{\lambda }\left|v_t-v_p\right|\cdot \cos \left({\theta }_{t,m}+\alpha \right)=f_{t,m}\times T$을 사용해서 계산할 수 있다.

STAP 알고리즘을 적용하기 위해서는 간섭 성분의 공분산 행렬 R의 추정이 필요하다. 간섭 성분은 클러터 성분 X_c와 complex WGN(white Gaussian noise)으로 모델링된 잡음 성분 X_n의 합이며, R은 다음과 같이 정의된다.

R을 추정하기 위해서는 CUT(cell under test) 주변 셀에 대한 X_c와 X_n을 이용해서 보통은 SCM(sample covariance matrix)를 적용시켜 추정한다. 본 논문에서는 레이다 모션에 따른 STAP 성능을 조사하는 것이 목적이므로 CUT에 대한 R을 안다고 가정하고 식 (4)의 X_c와 X_n을 이용해서 R을 계산하였다.

STAP에서 출력 SINR(signal to interference ratio)을 최대로 만드는 가중치 w는 w=R⁻¹s로 표현되며 각도와 도플러에 따라 변하는 s벡터를 변화시키며, 간섭이 억제된 필터 출력을 얻을 수 있다. CPI 구간이 짧은 일반적인 기존 STAP에서는 정지된 한 클러터 패치로부터 수신된 펄스 신호들에 포함된 도플러 주파수와 입사 각도 정보가 한 CPI 구간에서 거의 변화가 없다는 가정하에 개발되었다. 하지만 CPI 구간에서 레이다 위치변화가 큰 경우 이 가정은 성립하지 못하며, 보상과정 없이 STAP을 적용할 경우 STAP 성능 열화가 나타난다.

본 절에서는 STAP에서 CPI 구간 동안 파라미터 값의 변화가 큰 경우, 성능 열화가 발생하게 되는 근거를 제시하기 위해서 다음과 같이 1차원 환경으로 단순화시켜 설명하고자 한다. 즉, 하나의 송수신 안테나만 있는 레이다 환경에서 w=R⁻¹s의 가중치를 사용해서 클러터 도플러를 억제하고, 표적을 탐지하는 간단한 1차원 과정을 예시로 설명한다. 수학적 분석이 용이하도록 클러터는 하나의 패치만으로 구성되어 있다고 하고, 레이다는 M개의 펄스를 송수신한다. 클러터의 복소 반사계수가 γ_q이고, 도플러 주파수가 f_q를 갖는 하나의 클러터 패치로부터 수신된 신호는 X_c=γ_qu_q라 할 수 있다. u_q는 도플러 조향 벡터로써 $u_q\in {ℂ}^M={\left[1e^{j2\pi f_{q}T}{e}^{j2\pi f_{q}2T}\dots e^{j2\pi f_q\left(M-1\right)T}\right]}^T$이다. 이때 클러터 성분의 공분산 행렬 R은 다음 식으로 표현할 수 있다.

여기서 σ²은 잡음 전력이다. 이때 SINR을 최대로 만드는 필터 가중치는 다음과 같다.

여기서 ${\eta }_q^2$은 클러터 전력 E[|γ_q|²]를 나타내며, s_r은 도플러 주파수가 f_r인 도플러 조향 벡터로 $s_r\in {ℂ}^M={\left[1e^{j2\pi f_{r}2T}{e}^{j2\pi f_{r}2T}\dots e^{j2{\pi }_r\left(M-1\right)T}\right]}^T$이다. 만약 f_r≠f_q이면, s_r은 u_q와 직교하므로 w는 다음과 같이 표현된다.

표적영역에 반사계수가 γ_t, 도플러 주파수가 f_t, 도플러 조향벡터가 $u_t={\left[1e^{j2\pi f_{t}T}{e}^{j2\pi f_{r}2T}\dots e^{j2\pi f_t\left(M-1\right)T}\right]}^T$인 하나의 이동 표적이 존재한다고 하자. 이때 필터 출력 y는 y=w^H X가 되며, 여기서 수신 신호 X는 X=γ_tu_t+ γ_qu_q+n (n:잡음)가 되므로 필터 출력은 다음과 같다.

식 (6)～(9)까지는 CPI 동안에 수신 신호의 클러터 도플러가 변하지 않은 경우이다. 도플러 주파수가 시간에 따라 변하는 경우, 도플러 스펙트럼의 퍼짐 현상이 발생하며, 이때 ${\eta }_q^2$와 표적 성분 γ_t의 전력 E[|γ_t|²]가 작아진다. 이 경우, 식 (9)의 $\frac{1}{{\eta }_q^2+{\sigma }^2}$항에서 ${\eta }_q^2$이 작아져 클러터의 전력은 더 커지고 표적 성분인 $\frac{{\text{γ}}_t}{{\eta }_q^2+{\sigma }^2}$의 진폭은 작아져서 결과적으로 SINR이 감소함으로 필터 성능이 열화된다. 위 예시를 (각도, 도플러) 2차원 평면으로 확장하여도 식 (8), (9)은 동일하며, 같은 결과가 얻어지므로, STAP 성능 향상을 위해서는 적절한 위상 보상을 통해 CPI 구간 동안 클러터의 (각도, 도플러) 정보 변화가 최소화되도록 하는 신호처리 기법이 요구되며, 이에 대해서는 3-2절에서 설명한다.

수신 신호의 위상 보상을 위해서는 CPI 구간 동안 클러터에서 산란된 수신신호의 각도 및 도플러 변화를 조사해야 한다. 하지만 식 (1), (2)에서의 r_i,m와 θ_i,m은 각 패치별로 다른 값을 가지므로 제안 방법에서는 표적 영역의 중점을 기준으로 위상 보상을 하였다. 각도 및 도플러 위상 보상 외에도 각 펄스 송신 시점의 레이다 위치 변화에 따른 위상 보상도 하여야 CPI 구간 동안 수신된 신호들에 대해 코히어런트 프로세싱이 가능하다. 즉, m번째 펄스 송신 순간 레이다 첫 번째 배열 소자의 위치와 표적 영역 중심 사이의 거리를 l_m이라고 할 때, 표적탐지 영역은 미리 정해져 있으므로 l_m은 알고 있는 값이라 가정할 수 있다. l₁을 기준으로 이를 보상한다면 m번째 펄스에 대한 수신 신호에 대해서는 $e^{\frac{j4\pi \left(l_1-l_m\right)}{\lambda }}$을 곱해서 보상할 수 있다. 제안 알고리즘에서는 각도 조향 벡터 및 도플러 조향 벡터는 첫 번째 펄스 송신 순간의 첫 번째 배열 안테나에서 바라본 표적 영역 중심점 조향 각도를 기준으로 보상하였다. θ_m이 m번째 펄스 송신 순간의 조향 각도라 하자. 이때 sin(θ_m)값은 다음과 같이 근사화시킬 수 있다.

여기서 Δ_m은 첫 번째 펄스 송신 시점과 m번째 펄스 송신 시점의 조향각 차이다. CPI 구간 동안 각도 조향 벡터 변화를 최소화하기 위해서 m번째 수신 신호에 대해서 보정해 줘야 하는 조향각 보정 벡터 C_m은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또한, 식 (2)와 식 (10)에 의해 도플러 보상 벡터 E_d는 다음과 같다.

그러므로 최종적인 위상 보상 벡터 $\widehat{v}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

이때 e_m은 E_d의 m번째 요소를 의미한다. 따라서 위상 보상 벡터 $\widehat{v}$는 NM×1의 크기를 가지며, 최종적으로 위상 보상된 신호는 다음과 같이 표현된다.

이때 ∘은 아다마르 연산(hadamard product)이다. 식 (14)의 과정을 통해서 보정된 수신 신호벡터 X′은 CPI 동안 클러터 성분에서 cos(θ₁)sin(Δ_m)에 해당하는 위상이 제거되며, Δ_m ≪1에 의해 sin(θ_m)≅sin(θ₁)가 되도록 한다. 따라서 각도 조향 벡터는 θ₁을 기준으로 보상되고, 도플러 조향 벡터는 첫 번째 배열 안테나 위치를 기준으로 보상된다. 식 (14)의 과정에서는 단순한 곱 연산이므로 전체 계산량에 거의 영향을 주지 않는다.

STAP 출력은 배열 안테나 소자 간의 거리가 고정되어 있는 경우는 소자 개수가 많을수록 각도 해상도가 개선된다. 그러므로 배열 소자 개수가 고정된 일반적인 STAP 시스템의 경우 각도 해상도는 고정되어 있다. 하지만 CPI 구간 동안 레이다의 위치 변화를 고려하는 경우 PRI가 충분히 작고, 배열 소자 구조가 DPCA 조건을 만족한다면 다음 과정을 거쳐 각도 해상도를 개선할 수 있다. DPCA 조건은 다음 식으로 나타낼 수 있다.

여기서 d는 λ/2이고 N_a는 한 PRI 동안 레이다 이동거리를 d로 나눈 $\frac{v_{p}T}{d}$로서 정수 값을 가져야 한다. 이 경우 CPI동안 레이다는 개구면 크기가 N_t=N+N_a (M−1)가 되는 하나의 배열 안테나를 합성했다고 할 수 있다. 실제 안테나는 N개 배열 소자를 가지고 있지만, N보다는 큰 가상 배열 안테나를 구성할 수 있다면 STAP의 각도 해상도 개선이 가능하다. 만약 가상 배열 안테나 크기를 N_v(N_v >N)로 설정하면 사용한 펄스 개수는 실제 사용한 개수 M보다 작은 (N_t−N_v+N_a)/N_a개의 펄스를 송수신하면서 N_v개의 배열 안테나를 사용한 경우에 해당한다. 즉 ,각도 해상도는 향상되지만 도플러 해상도의 열화가 발생한다. 하지만 레이다 위치에 대한 보상을 하면서 M의 개수를 충분히 늘릴 수 있다면 각도 해상도 및 도플러 해상도 모두 개선이 가능하다. 프로세싱 과정에서 겹쳐진 부분 즉 N−N_a개 배열소자에서 중복으로 얻어진 수신 신호는 인접한 펄스 동안 얻어진 두 신호의 평균을 택하거나, 둘 중 임의의 한 성분만을 택하여 정할 수 있다.