항공기 레이다에 있어 두 개의 주파수를 사용하였을 때저고도 표적 다중경로 각도 추정의 CRLB

Ⅰ. 서 론

해면이나 지면 위에 낮게 위치한 표적은 레이다 산란파가 다중경로(multipath)로 거의 같은 시점에 수신기에 도달한다. 즉, 직접파와 표면 반사파의 두 파가 거의 같은 각도로, 같은 거리 빈(range bin)에 들어오므로 서로 간섭을 일으켜서 각도 추정에 큰 오차가 생기므로 표적의 탐지 및 추적에 어려움이 있다. 특히 일반적인 모노펄스 (monopulse) 레이다의 경우, 안테나 혹은 빔이 두 개뿐이 없어서 두 개의 각도를 측정하는 것이 불가능하다. 다중경로 문제점은 특히 해상레이다(shipborne radar)에서 널리 알려져 있고, 이를 해결하기 위한 여러 가지 시도가 지난 수십 년간 연구되어왔다. 하지만 항공기 레이다에서도 지표면 혹은 해수면의 다중경로의 영향이 큰 문제가 된다^[1],[2].

Complex indicated angle 방식^[3]은 모노펄스 레이다를 사용할 때 해수 표면의 반사 특성을 알고 있다고 가정하고 두 개의 각도를 찾는 방안이고, 참고문헌 [4]은 직접파, 반사파가 2개인 점을 고려하여 3개의 빔을 사용한 방법을 제안하였다. 한편, Zoltowski^[5]는 3개의 빔을 사용한 root-MUSIC 방안으로 2개의 파의 각도를 찾는 방법을 보였다. 이상의 방법과는 달리 참고문헌 [6]에서는 반사파 방향으로 널(null)을 주어서 간섭을 제거하는 방안을 제시하였는데, 이 방법은 통신 기능도 필요한 사격통제 레이다의 경우에 특히 유리하다.

다중경로에 의한 두 개의 파는 모두 코히런트(coherent)한 성질, 즉 두 개의 파가 단일 주파수이고 단지 위상만 다른 성질을 가지고 있는데, 이 경우 위상이 0도 혹은 180도 일 경우, 크래머 라오 하한(Cramer-Rao lower bound: CRLB) 분석을 통하여, 입사각 추정 혹은 널링(nulling)이 근본적으로 어려움이 잘 알려져 있다^[7],[8]. 그러므로 위에 소개한 간섭제거 방법들^[1]～[6]은 모두 두 개의 입사파의 위상이 0도 혹은 180도일 경우 오차가 매우 크게 됨을 피할 수 없다.

본 논문에서는 다중경로 각도 추정 문제의 CRLB를 수치 해석적으로 설명하고, 두 개의 다른 주파수를 사용하였을 경우 모든 위상 각도 구간에서 CRLB가 작아짐을 보인다.

Ⅱ. 항공기와 표적 간 개념도

그림 1에 높이가 h₁인 항공기용 레이다 빔이 높이가 h₂인 지표면에 가까이 있는 표적을 향하는 모습을 보였다. 레이다는 직접파 s₁과 반사파 s₂를 동시에 수신하게 되는데, s₁의 경로 길이는 R_d이고, s₂의 경로 길이는 R_r=R₁+R₂이다. 여기서 정면(boresight) 기준 s₁의 입사각은 θ_d, s₂의 입사각은 θ_r로 표시하였다. 또한, 레이다로부터 표적까지 수평거리는 G이고, 레이다로부터 반사 지점까지 수평거리는 G₁으로 표시하였다.

그림 1. | Fig. 1. 비행체가 표적을 향하여 날아가는 개념도 | Geometry of a vehicle flying towards a target.

Download Original Figure

이제 다중경로 간섭에 중요한 역할을 하는 경로 차 ΔR=R_r–R_d 는 다음의 식으로부터 얻은 R_d, R_r로부터 구할 수 있다.

직접파의 입사각 θ_d와 반사파의 입사각 θ_r은 다음과 같이 구할 수 있다. 반사점에서의 지표각(grazing angle) $\psi ={\cos }^{-1}\frac{G_1}{R_1}$ 은

를 이용하여 구하고, $\beta ={\cos }^{-1}\frac{G}{R_d}$ 로부터 θ_d=α-β, θ_r=α-ψ를 얻을 수 있다.

이제 h₁=500 m, h₂=10 m, α=45°라고 가정하였을 때 경로 차 ΔR=R_r−R_d를 그림 2에 보였다. 수평거리 0≤G≤1 km에서 경로 차는 20 m 이하에 불과하여 대역폭이 7.5 MHz 이하인 항공기 레이다에서는 직접파, 반사파가 같은 거리 빈(range bin)에 위치하여서 간섭을 일으키게 됨을 알 수 있다.

그림 2. | Fig. 2. 직접파와 반사파의 경로 차 | Path length difference between the direct and reflected waves.

Download Original Figure

그림 3에 수평거리 0≤G≤1 km에서 직접파와 반사파의 입사각을 보였다. 두 각도가 매우 비슷함을 알 수 있다.

그림 3. | Fig. 3. 직접파와 반사파의 입사각 | Angles of arrival of the direct and reflected waves.

Download Original Figure

Ⅲ. 단일 주파수를 사용할 때 각도 추정 CRLB

다중경로 간섭을 제거하고 표적의 각도를 찾는 가장 직접적인 방법은 직접파, 반사파의 각각의 각도를 구하는 것이다. 그림 4에 N개의 안테나 사이의 간격이 $d=\frac{\text{λ}}{2}$인 등 간격의 안테나 어레이를 보였다.

그림 4. | Fig. 4. 등 간격의 선형 안테나 어레이$\left(d=\frac{\text{λ}}{2}\right)$ | Uniform linear antenna array$\left(d=\frac{\text{λ}}{2}\right)$.

Download Original Figure

입사각이 각각 θ₁, θ₂인 두 개의 평면파(plane wave) 신호 s₁, s₂가 있을 때 기저대역(baseband)에서 안테나 측정치 벡터는 다음과 같이 표현된다.

여기서

이다.

직접파 신호 s₁과 반사파 신호 s₂는 코히런트하여서 다음과 같이 모델 할 수 있다.

여기서 표적에서 반사되는 신호 s는 분산이 $Ess*={\sigma }_s^2$ 인 복소 영평균 랜덤 신호(complex zero-mean random signal)로 가정하고, s_i (k)는 시간 k에서 샘플링한 신호를 의미하고, α=ρe^jϕ는 s₁ (k)에 대한 s₂ (k)의 복소 경로 이득(complex path gain)을 의미한다. 복소 이득 α의 절대값 ρ는 동작 주파수(operating frequency) f₁ 및 반사 표면의 성질에 의하여 결정되고, 각도 ϕ는 동작 주파수 f₁ 및 반사 표면의 성질뿐만 아니라, 경로 길이에 따라서 결정된다.

따라서 신호 벡터 $\underset{\_}{s}$는 다음과 같은 공분산을 갖는다.

그러므로 안테나에서 받는 신호 z는 공분산이 $R_z=A{R}_s{A}^H+{\sigma }_n^{2}I$ 인 복소 영평균 랜덤 신호이다:

여기서 우리가 찾으려는 변수 θ=[θ₁,θ₂]^T는 R_z에 포함되어 있는데, θ에 대한 피셔 정보 행렬(Fisher information matrix) F=(f_ij)∈C^2×2는 다음과 같이 주어진다^[7],[8],

여기서 tr(.)은 대각합(trace)을 의미하고, $\frac{\partial R_z}{\partial {\theta }_i}$는 다음과 같이 구할 수 있다.

그러므로 θ의 CRLB는 다음과 같이 주어진다.

즉, 어떤 추정값(estimator) θ̂_i 를 선택하든지 간에 평균 제 곱근 편차(mean square error)의 제곱, var(θ̂|θ)는 다음의 식을 만족한다.

그림 5에 ρ=0.9, θ₁=0.05° , θ₂=−0.05°, f=10 GHz인 경우, 복소 경로 이득의 각도 ϕ ∈[−180°, 180°]에 대하여 θ₁에 대한 CRLB를 그렸다. ϕ=0°, 180° 근방에서 CRLB가 값을 갖는 것을 알 수 있다. 즉, ϕ=0°, 180°에서는 θ₁을 추정하기 위하여 모노펄스 혹은 최대 우도 추정(maximum liklihood estimation: MLE) 등의 어떠한 기법을 사용하든 추정 오류가 클 수밖에 없다. 본 논문에서 보이지 않았지만 θ₂의 CRLB도 그림 5와 비슷한 형태를 보인다.

그림 5. | Fig. 5. 단일 주파수와 두 개의 주파수를 사용했을 때 직접파 각도 추정에 대한 CRLB 비교 | Comparison of CRLB of the direct-path angle estimation.

Download Original Figure

많은 항공기용 레이다는 다음과 같이 위상 모노펄스 추정(monopulse estimation) 기법을 사용하여 각도 θ를 구한다.

그림 3의 두 개의 가까운 입사각 상황의 경우, 위의 식으로 θ를 구하면 그림 6과 같음을 볼 수 있다. 즉, 항공기와 표적 간 거리가 변화하면 ϕ=0°, 180° 조건이 주기적으로 만족하게 되므로, 주기적으로 커다란 측정 오차가 발생하게 된다.

그림 6. | Fig. 6. 다중경로 신호의 모노펄스 입사각 추정 | Monopulse angle estimation for multipath signals.

Download Original Figure

Ⅳ. 두 개의 주파수를 사용할 때 각도 추정 CRLB

이와 같은 오차를 줄이는 방안은 ϕ가 주파수와 반사 표면의 성질의 함수임을 이용하여 여러 개의 주파수를 사용하는 것이다. 만약 두 개의 주파수 f₁과 f₂를 사용한다면 각각에 대하여 다음과 같은 수신 신호 모델을 얻는다.

여기서

이다.

이제 위 식을 하나로 묶으면 다시

의 형태가 된다. 여기서

z=[z₁,z₂]^T, s=[s₁,s₂]^T, n=[n₁,n₂]^T, $A=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right]$ 이다. 또한, 신호의 공분산은

가 된다.

그림 5에 단일 주파수에서와 같은 조건(ρ=0.9, θ₁=0.05° , θ₂=−0.05°) 에서 위에서 설명한 두 개의 주파수를 사용하여 CRLB를 구한 결과를 보였다. 여기서

를 사용하였다. 각도 ϕ₀=20°는 다른 주파수를 사용함에 따른 반사 계수의 차이에서 유래한다고 가정하였다.

그림 5에서 두 개의 주파수를 사용한 경우, 한 개의 주파수를 사용한 경우보다 CRLB가 현저하게 줄어들었음을 볼 수 있다.

그림 7에 두 개의 주파수를 사용할 때 두 주파수의 차이에 따라 직접파 각도 추정 CRLB가 어떻게 변화하는지 보였다. 사용한 주파수는 다음과 같다.

그림 7. | Fig. 7. 두 주파수 차이에 따른 직접파 각도 추정에 대한 CRLB 비교 | Comparison of CRLB of the direct-path angle estimation according to the difference of two frequencies.

Download Original Figure

CRLB가 비교적 높았던 180도 근처에서는 두 주파수 차이가 커질수록 CRLB가 크게 줄어들었음을 볼 수 있다. 하지만 두 주파수 차이가 커질수록, 0도 근처에는 CRLB가 약간 증가하는 경향을 보였다.

Ⅴ. 결 론

본 논문에서는 항공기 레이다에서 두 개의 주파수를 사용하면 저고도 표적의 다중경로 각도를 정확히 추정할 수 있음을 CRLB를 이용하여 이론적으로 보였다. 여기서 다이버전스(divergence) 효과 등^[6]을 포함한 다중경로의 보다 현실적인(realistic) 모델링은 단지 부수적인 영향만 주므로 여기서는 생략하였다. MLE 알고리듬은 정칙 조건(regularity condition)을 만족할 경우 점근적으로(asymptotically) 평균 제곱근 편차가 CRLB와 일치함이 잘 알려져 있다^[7]. 직접파 각도를 추정하는 알고리듬은 MUSIC, MLE, 혹은 모노펄스의 변형 등 여러 가지 방안이 가능한데, 구체적인 알고리듬 구현은 본 논문에서 다루지 않았다.