임의 대형구조 전자기 해석을 위한 CBFM의 빠른 원거리 상호 작용 계산 알고리즘

Ⅰ. 서 론

Method of Moment(MoM) 기법^[1]은 맥스웰 방정식으로 부터 유도한 적분 방정식 기반의 선형 시스템을 행렬 방정식으로 변환하여 계산하는 전자기 수치해석 기법이다. 전통적인 방식의 MoM은 해석에 필요한 시간과 계산 자원이 각각 O(N³), O(N²)의 복잡도를 가져 전기적으로 큰 문제해석이 효율적이지 않다는 단점을 갖고 있다.

이러한 단점을 극복하기 위하여 Conjugate Gradient, GMRES 등 반복풀이법(iterative solver)을 알고리즘 내부에 적용한 다양한 수치적기법과 알고리즘 등 여러 가지 기법들이 개발되었다. 이후 반복풀이법을 사용하는 기법들은 여러 개선 과정들을 거쳐 Fast Multipole Method(FMM)^[2], Multilevel Fast Multipole Method(MLFMM)^[3], Adaptive Integral Method(AIM)^[4] 등의 정제된 알고리즘으로써 정착되어 사용되고 있다.

한편 최근 들어 앞서 언급한 선형 행렬 방정식을 직접풀이법(direct solver)를 통하여 계산하는 알고리즘들 또한 개발되어 왔다. 대표적으로 Characteristic Basis Function Method(CBFM)^[5]이 이에 해당한다. CBFM은 문제의 각 부영역(subdomain)들에 대하여 새로운 Macro Basis Function인 Characteristic Basis(CB)를 정의하여 문제의 자유도(degrees of freedom: DoFs)를 줄이는 방법이다. 반복풀이법을 사용하는 기법과 가장 뚜렷하게 구별되는 직접풀이법 기반 알고리즘의 장점은 불분명한 수렴성으로부터 자유롭다는 점과 모노스태틱 레이다 단면적(monostatic radar cross-section) 계산과 같이 다수의 입사원을 포함하는 문제를 효과적으로 계산할 수 있다는 점이다.

CBFM은 CB 생성과정, 축소행렬(reduced matrix) 생성과정, 행렬 방정식 계산 과정의 3가지 과정으로 이루어지는데, 본 논문에서는 이 중 두 번째 과정을 다중극 근사화(multipole approximation)을 사용하여 가속화 하여 전체 계산시간을 단축하는 기법을 제안하였다.

Ⅱ. CBFM Formulation

2-3 먼 블록간 가속된 상호작용 계산

전통적인 MoM에서는 전체 계산시간 중 임피던스행렬을 형성하는데 필요한 계산시간에 비하여 행렬 방정식을 계산하는데 필요한 시간이 월등히 많은 비중을 차지하므로 이를 가속화하는 연구들이 많이 진행되어왔다. 이와는 다르게 CBFM의 경우, 두 번째 과정인 축소행렬 생성과정 또한 행렬식을 계산하는 시간 못지않게 많은 시간이 필요하다.

이에 해당 과정을 Adaptive cross approximation(ACA)^[6]를 이용하여 가속화하는 연구들이 진행되었다. 해당 연구는 인접하지 않은 블록 간의 상호작용을 계산할 때 블록간 임피던스행렬을 계산한 뒤 해당 행렬이 낮은 랭크(rank)를 갖는 특성을 이용하여 ACA를 적용하고, 이를 통하여 계산량을 낮추는 기법이다. 해당 기법은 커널에 독립적(kernel-independant)이며, 비교적 구현이 쉽지만 행렬 생성과정 중 마찬가지로 큰 비중을 차지하는 ACA로 가속되는 축소행렬과는 별개로 MoM 행렬 생성을 온전히 전부 수행해야 한다는 한계점이 있다.

본 논문에서는 MoM 행렬 생성없이 자유공간 그린 함수(Green’s function)의 다중극 전개방법(multipole expansion)을 이용하여 바로 축소행렬을 생성할 수 있는 기법을 제안한다. 널리 알려져 있는 고속 다중극 기법(fast multipole method: FMM)에서 사용하는 그린함수의 다중극 전개식을 사용한 근사 식은 다음과 같다.

$$\frac{e^{-jk\left|\overrightarrow{R}+\overrightarrow{x}\right|}}{4\pi \left|\overrightarrow{R}+\overrightarrow{x}\right|}={\displaystyle {\int }_1{e}^{-jk\left|\widehat{k}\cdot \overrightarrow{x}\right|}{T}_L\left(k,\widehat{k},\overline{R}\right)}dS$$

(8)

$$T_L\left(k,\widehat{k},\overline{R}\right)=\frac{k}{{\left(4\pi \right)}^2}{\left(-j\right)}^{l+1}\left(2l+1\right)h_l^{\left(2\right)}\left(kR\right)P_l\left(\widehat{k}\cdot \widehat{R}\right)$$

(9)

위 식에서 $h_l^{\left(2\right)}$와 P_l(x)는 각각 제2종 구형 핸켈 함수와 차수 l의 르장드르 다항식을 나타낸다. 해당 수식은 실제 FMM에서 사용하는 수학적 의미와 동일하게 사용되므로 일반적인 FMM에서 가장 효율적이면서도 정확도를 잃지 않는 다중극 한도인 L = kd + β(kd)^1/3를 사용하였다. 여기서 d는 블록의 크기를 의미한다. 추가적으로 L에 따른 정밀도에 관한 연구는 다음^[7]을 참고할 수 있다. 이를 이용하여 기존의 임피던스 행렬을 표현하면

$$\begin{array}{c}{Z}_{ij}={\displaystyle \int \overrightarrow{f_i}\cdot L\left(\overrightarrow{f_i}\right)dS}\\ ={\displaystyle {\int }_{1}R\left(\overrightarrow{f_i},\widehat{k}\right)\cdot T_L\left(k,\widehat{k},{\overrightarrow{r}}_{ab}\right)}T\left(\overrightarrow{f_j},\widehat{k}\right)dS\end{array}$$

(10)

$$R\left(\overrightarrow{f_i},\widehat{k}\right)=j\omega \mu {\displaystyle \int \overrightarrow{f_i}}{e}^{-jk\widehat{k}\cdot {\overrightarrow{r}}_{r^{\prime }a}}d{r}^{\prime }$$

(11)

$$T\left(\overrightarrow{f_j},\widehat{k}\right)=\left[1-\widehat{k}\widehat{k}\right]\cdot {\displaystyle \int \overrightarrow{f_i}}{e}^{-jk\widehat{k}\cdot {\overrightarrow{r}}_{r^{\prime }a}}d{r}^{\prime }$$

(12)

위와 같고, 이를 식 (5)에 적용하면

$$\begin{array}{c}{Z}_{mn}^r={\displaystyle \sum _i{\alpha }_i^m}{\displaystyle \sum _j{\alpha }_j^n}{\displaystyle {\int }_{1}R\left(\overrightarrow{f_i},\widehat{k}\right)}\cdot T_L\left(k,\widehat{k},{\overrightarrow{r}}_{ab}\right)T\left(\overrightarrow{f_j},\widehat{k}\right)dS\\ ={\displaystyle {\int }_1\left\{{\displaystyle \sum _i{\alpha }_i^m}R\left(\overrightarrow{f_i},\widehat{k}\right)\right\}\cdot T_L\left(k,\widehat{k},{\overrightarrow{r}}_{ab}\right)\left\{{\displaystyle \sum _j{\alpha }_i^n}T\left(\overrightarrow{f_i},\widehat{k}\right)\right\}dS}\end{array}$$

(13)

식 (13)과 같이 정리되어 블록 간 전달함수(transfer function) T_L과 각 기저에 대응되는 방사함수(radiation function)와 수신함수(receive function) R, T만 계산되면 실제 원거리 블록간 축소행렬 계산에 걸리는 시간을 줄이게 되어 해석속도를 가속할 수 있게 된다. 그림 1로 기존의 CBFM과 제안된 알고리즘의 알고리즘 차이를 표현하였다.

그림 1. | Fig. 1. (a) 통상 CBFM의 interaction 계산 방식, (b) 제안 알고리즘의 interaction 계산 방식 | (a) Conventional CBFM interaction calculation method, (b) Proposed interaction calculation method.

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Ⅲ. 수치해석 결과

제안된 알고리즘의 성능을 확인하기 위하여 두 가지 예제를 일반 CBFM과 제안 알고리즘, MIE 시리즈 및 상용전자기해석 소프트웨어인 FEKO를 이용하여 해석을 진행하였다. 해석에 사용된 모델은 RWG 기저함수를 사용하는 모델로 Xeon E5-1660 @ 3.3 GHz(단일코어 사용)을 사용하여 시뮬레이션을 진행하였다.

첫 번째 예제는 반지름이 2 λ인 구의 바이스태틱(bistatic) RCS 해석이다. 해당 예제는 약 30,000개의 RWG 기저로 이루어져 있다. 해석 블록의 크기는 CBFM과 제안 알고리즘 모두 1 λ로 설정하여 해석을 진행하였으며, 해석 결과와 해석에 소요된 시간은 표 1에 나타내었다.

기존의 30,000개의 미지(unknown)수는 3,400개의 CB로 감소하였고 그림 2에서 확인할 수 있듯이 CBFM의 결과와 제안된 알고리즘의 결과가 잘 일치하는 것을 알 수 있었다. RCS의 평균 오차는 약 0.5 %이며, 계산시간 또한 4,078초에서 2,693초로 크게 개선된 것을 확인할 수 있었다.

그림 2. | Fig. 2. 구의 바이스태택 RCS | Bistatic RCS of sphere.

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임의의 구조에 적용되었을 때의 성능을 살펴보기 위하여 전투기 모델을 두 번째 예제 모델로 설정하고 해석을 진행하였다. 해당 모델은 RWG 기저 기준으로 약 10만 개의 기저로 이루어져 있다. 본 예제에서는 직접풀이법의 장점 중 하나인 다중 여기(mutiple excitation)를 검증하기 위하여 θ에 대하여 모노스태틱 RCS 해석을 진행하고, 그 결과를 분석하였다.

생성된 CB의 개수는 10,280개로 앞서와 마찬가지로 약 1/10 정도의 압축률(compression rate)을 보였으며, FEKO 시뮬레이션 결과와의 평균 RCS 차이는 6.5 %로 크지 않은 것을 확인할 수 있다. 각 알고리즘의 계산시간 또한 70,180초에서 18,549초로, 74 %만큼 계산시간이 단축되는 것을 확인하였다. 추가로 단일 여기일 때와 비교하여 해석시간이 거의 차이 나지 않는 것을 확인할 수 있는데, 이는 다중여기문제의 효율적 해석 측면에서 의미 있는 결과임을 보여준다.

그림 3. | Fig. 3. 전투기의 모노스태틱 RCS | Monostatic RCS of aircraft.

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Ⅳ. 결 론

본 논문은 다중극 전개방법을 활용하여 개선된 CBFM 알고리즘을 제안하여 대형구조 전자기 해석을 가속화하는 기법을 제안하였으며, 예제를 통하여 정확도 손실 없이 4 λ*4 λ*4 λ, 16 λ*10 λ*3.5 λ 크기의 대형구조 해석에 대하여 계산 속도가 51 %, 278 % 향상되는 것을 확인하였다. 본 기법은 비록 통상적인 CBFM과 비교하였을 때 다중극 전개방법에 관한 이론이 추가되어 알고리즘 구현이 복잡해지지만 모노스태틱 RCS 해석과 같은 다중여기 문제처럼 반복법으로는 효율적으로 해석하지 못하는 문제에 유용하게 사용될 수 있을 것이다.