샘플링 오실로스코프의 주파수 응답특성 교정

샘플링 오실로스코프는 등가시간 샘플링(equivalent time sampling) 기법을 적용하여 ps 이하의 고분해능으로 100 GHz에 이르는 광대역신호를 측정할 수 있다. 하지만 트리거링 지터와 내부 시간 지연회로의 오차로 인해 수십 ps의 시간축 왜곡 현상이 발생한다. 이러한 시간축 왜곡 현상을 교정하지 않으면 마치 측정신호가 저대역통과 필터를 통과한 것처럼 고주파 신호 성분이 크게 감쇠되는 현상이 발생한다. 따라서 이러한 현상을 피하기 위해서는 시간축 에러를 교정해야 한다^[14],^[15].

시간축 에러 교정방법으로는 DUT 측정과 동시에 sine 파형을 측정하고, 회귀분석을 통해 측정 시 발생한 시간축 에러를 추정하는 방법이 많이 사용된다. 이때 발생된 시간축 에러는 모든 측정채널에서 공통적으로 발생된다고 가정한다. 따라서 시간축 에러를 추정하기 위한 회귀분석 모델은 다음과 같으며, 통상 추정의 정확성을 높이기 위해 90도 위상차를 가지는 IQ 신호를 이용한다.

여기에서 i와 j는 각각 j 채널을 통해 측정된 i번째 측정값을 의미하며, a_j, θ_j, c_j는 각각 j채널을 통해 측정한 sine 파형의 진폭, 위상, 오프셋 값, δ_i는 i번째 측정값의 시간오차, ε_j,i는 랜덤오차이다. 본 연구에서는 10 GHz의 IQ 신호를 이용하였으며, 그림 1과 같이 80 MHz 신호원 1에 10 MHz 기준신호로 동기를 하였다. IQ 신호를 생성하기 위해 quadrature 하이브리드 커플러를 이용하였으며, 커플러를 통해 생성된 IQ신호를 샘플링 오실로스코프의 다른 채널로 측정하였다. 그림 2는 100회 측정한 결과(회색점)와 시간왜곡이 교정된 신호(흰선)를 함께 보여준다. 교정되지 않은 신호들은 시간왜곡 현상으로 인해 지터가 매우 크지만 교정된 신호는 그러한 현상들이 제거된 것을 확인할 수 있다. 보다 자세한 내용은 참고문헌 [15]에 정리되어 있다.

그림 2. | Fig. 2. 시간축 왜곡 교정 결과 | Calibration result for the time base distortion.

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PD와 샘플링 오실로스코프의 입력 임피던스는 정확히 50 Ω이 아니므로 두 장비 사이에 임피던스 부정합이 발생한다. 임피던스 부정합에 대한 신호 흐름도는 그림 3과 같으며, 오실로스코프가 측정한 PD의 파형 H_meas는 다음과 같다^[16].

그림 3. | Fig. 3. 임피던스 부정합 신호흐름도 | Signal flow-graph for the impedance mismatch.

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여기에서 Γ_PD, Γ_scope는 각각 PD와 샘플링 오실로스코프의 입력 임피던스이며, S_xx는 PD와 오실로스코프를 연결하기 위해 사용된 어댑터의 S파라미터이다. 따라서 임피던스 부정합을 고려한 주파수 응답특성은 식 (3)을 이용해 계산할 수 있다. 그림 4는 임피던스 부정합이 교정되기 전과 후의 샘플링 오실로스코프의 주파수 응답특성을 보여준다. 임피던스 부정합 교정 전(파선)에는 주파수가 높아짐에 따라 측정값이 크게 요동을 치지만, 임피던스 부정합 교정 후(실선)에는 주파수에 따른 요동이 크게 감소되었다. 이는 PD와 오실로스코프 사이의 임피던스 부정합으로 인한 반사파가 제거되었기 때문이다.

그림 4. | Fig. 4. 임피던스 부정합 교정 결과 | Calibration result for the impedance mismatch.

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전술한 시간축 왜곡 교정법은 샘플링 오실로스코프의 각 채널에서 발생한 시간축 에러가 거의 동일하다는 가정에서 출발을 한다. 따라서 샘플링 오실로스코프의 채널 간 서로 독립적인 랜덤 지터가 발생하면 시간축 에러를 교정하더라도 잔여 지터(residual jitter)가 발생하게 된다^[15]. 이로 인해 측정된 PD의 출력신호는 주파수에 따라 감소하는 경향을 가진다. 그림 5는 지터에 의한 영향을 시뮬레이션으로 평가한 결과를 나타낸다. 70 GHz의 대역폭을 가지는 가우시안 펄스 100개를 생성한 후, 진폭 대비 0.5%의 랜덤 잡음과 2 ps의 랜덤 지터를 각각 추가하였다. 이후 생성된 100개의 가우시안 펄스를 평균한 후 푸리에 변환을 통해 주파수 성분을 도시하였다. 진폭의 경우에는 지터의 영향으로 인해 주파수가 높아질수록 세기가 감소하며, 70 GHz의 신호성분은 약 4 dB의 감쇠가 발생한다. 지터 σ_j에 의한 감쇠 효과는 exp(σ²_jω²/2) 항을 곱하여 보상할 수 있으며, 그림 5(a)와 같이 원 신호와 동일한 진폭 응답특성을 갖는 것을 확인할 수 있다^[9]. 위상오차는 평균횟수가 증가할수록 0으로 수렴을 하지만, 실 환경에서는 평균횟수가 제한될 수밖에 없다. 본 예시처럼 진폭대비 약 0.5%의 잡음을 가지며, 펄스 평균횟수가 100개일 경우에는 그림 5(b)와 같이 약 0.2도 이내의 오차로 수렴된다.

그림 5. | Fig. 5. 지터에 의한 왜곡현상 | Distortion of the measured waveform.

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따라서 식 (4)와 같이 PD를 이용해 측정한 주파수 응답특성에 지터 감쇠 보상항을 곱하면 전력계로 측정한 주파수 응답특성과 동일해지므로, 이를 이용하여 잔여 지터의 정확한 추정이 가능하다.

여기서 C는 PD의 바이어스와 PD를 여기시키기 위해 사용된 펨토초 레이저의 상태에 따라 변하는 scale factor이며, H_pow는 전력계를 이용해 측정한 진폭 응답특성이다. 식 (4) 양변에 log를 취한 후 선형최소자승법(linear least square fitting)을 적용하면 잔여 지터와 scale factor를 다음과 같이 계산할 수 있다.

그림 6(a)는 식 (5)를 이용하여 추정된 잔여 지터를 보상한 결과를 나타내며, PD를 이용한 방법과 전력계를 이용한 방법이 서로 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. 그림 6(b)는 측정된 위상특성을 나타내며, 20 GHz까지 rms 에러가 작도록 선형위상값을 detrend한 결과이다. 측정에 사용된 오실로스코프의 경우 약 40 GHz까지는 비교적 평탄한 위상 특성을 보이지만, 그 이상의 주파수에서는 그렇지 못한 결과를 보인다. 이는 오실로스코프의 진폭 응답특성과 유사한 결과로 측정된 위상의 정확성을 간접적으로 증명한다.

그림 6. | Fig. 6. 샘플링 오실로스코프의 주파수 응답특성 측정값 | The frequency response of the sampling oscilloscope.

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불확도 전파법칙에 따르면 어떤 임의의 불확도를 다른 값에 대한 불확도로 전환하기 위해서는 1차 테일러 근사화를 기반으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[17]

여기에서 Σ_x와 Σ_y와는 각각 x와 y에 대한 공분산 행렬이다. J_yx는 Jacobian행렬로 y값에 대한 x값의 편미분 즉, 감도계수로 구성되며, J′_yx는 J_yx의 전치행렬을 나타낸다. 따라서 NIST에서 교정 시 측정된 기준펄스 공분산 Σ_NIST는 다음과 같이 기준펄스에 의한 주파수 응답특성 공분산 Σ_pd로 전환된다.

여기에서 J_PD는 식 (6)에서 정의한 바와 같이 진폭과 위상에 대한 공분산 행렬을 구하기 위해서 각각 진폭과 위상에 대한 편미분으로 다음과 같이 구성되어야 한다. 여기에서 n과 m은 각각 측정한 오실로스코프 주파수 응답특성과 기준펄스 특성의 측정 데이터 개수를 의미한다. Jacobian 행렬의 각 원소들은 식 (3)을 이용하여 수치적으로 계산할 수 있다. 예를 들어 J_PD(1,1)은 측정에 사용된 |H_inc(f₁)|의 값을 미소증분시켰을 때 증가된 |H_scope(f₁)|과의 비율로 계산할 수 있다.

샘플링 오실로스코프의 시간왜곡 교정에 의한 공분산Σ_time은 식 (2)를 이용해 회귀분석 시 residual ε_j,i를 통해 계산할 수 있다^[18]. 이때 계산된 Σ_TBC는 오실로스코프를 이용해 시간영역에서 측정된 PD 파형의 공분산을 의미한다. 따라서 샘플링 오실로스코프의 주파수 응답특성에 대한 불확도 요인으로 변환하기 위해서 아래와 같이 계산한다.

J_time은 시간 영역에서 측정한 펄스파형에 의한 오실로스코프의 응답특성의 감도계수를 행렬로 나타낸 것이며, fft는 푸리에변환을 의미한다. 역시 식 (3)을 이용하여 수치적으로 계산할 수 있다.

임피던스에 의한 불확도는 PD 입력임피던스, 샘플링 오실로스코프 임피던스 및 어댑터 임피던스로 구성되며, 다음과 같다.

J_(Γ,PD), J_(Γ,scope), J_(Γ,adapter)는 전술한 방법과 동일하게 식 (3)을 이용하여 계산된 Jacobian 행렬이며, Σ_(Γ,PD), Σ_(Γ,scope), Σ_(Γ,adapter)는 각각 임피던스 측정 시 계산된 공분산이다. 일반적으로 임피던스 측정 불확도는 주파수 사이의 상관관계를 산출하지 않으므로 측정된 임피던스 성분의 모든 상관관계를 계산하기 위해 임피던스 교정물(calibration kit)의 물리적 특성으로부터 불확도를 계산하는 방법을 적용하였다.^[19]

잔여 지터 및 scale factor 추정에 의한 불확도 계산은 우선 식 (5)를 기반으로 선형회귀 분석한 잔여 지터와 scale factor의 공분산 Σ_LSQ를 계산한 후, 이를 다시 오실로스코프의 응답특성에 대한 공분산 Σ_jitter/scale로 다음과 같이 변환해야 한다.

J_jitter/scale은 식 (9)와 유사하게 잔여 지터와 scale factor에 대한 스코프 응답특성의 감도계수를 Jacobian 행렬로 나타낸 것이다. 또한 Σ_err은 앞 절에서 계산한 바와 같이 유한한 평균 횟수에 의해 발생되는 위상오차를 대각행렬로 표현한 것으로 식 (6)의 구조를 맞추기 위해 주대각선 중 앞의 n개는 0으로 구성되며, 뒤의 나머지 n개는 0.2°의 제곱으로 다음과 같이 구성된다.

잔여 지터와 scale factor 공분산 Σ_LSQ는 식 (5)를 기반으로 선형회귀분석을 통해 추정된 값으로 다음과 같이 계산할 수 있다.^[18]

여기에서 J_LSQ는 추정된 잔여 지터와 scale factor에 대한 선형회귀분석 오차의 감도계수이며, σ²_LSQ는 선형회귀분석의 residual 에러를 의미하며, 다음과 같다.

여기에서 v는 자유도이며, 총 관찰횟수(observation points)에서 추정에 사용된 파라미터 수를 제외한 n-2가 된다.

마지막으로 반복측정에 의한 공분산 Σ_rep은 각각 측정한 샘플링 오실로스코프의 주파수 응답특성으로부터 공분산 행렬을 구한 후 측정횟수로 나누어 계산한다.^[20]

측정 시스템 총 불확도는 전술한 공분산 행렬들의 합으로 다음과 같이 계산된다.

따라서 표준불확도는 주대각선(diagonal elements)에 제곱근을 취하면 구할 수 있다. 그림 7은 앞서 전술한 모든 불확도 요인들을 포함한 전체 측정시스템의 총 불확도(확장불학도)이다. 95 % 신뢰구간은 정규분포 분산을 가정할 경우, 표준불확도에 포함인자(coverage factor, k) 2를 곱하여 계산한다^[20]. 측정된 샘플링 오실로스코프의 측정 불확도는 60 GHz까지 약 0.2 dB, 그리고 위상은 2° 이내의 불확도를 가지며, Monte-Carlo 시뮬레이션을 통해 계산된 95 % 신뢰구간과 서로 잘 일치한다. 또한 전력계를 통해 측정한 진폭 응답특성과 불확도 범위에서 서로 잘 일치하는 것을 확인하였다.

그림 7. | Fig. 7. 샘플링 오실로스코프의 주파수 응답특성 측정불확도(k=2, 95 % 신뢰구간) | Uncertainty of the frequency response measurement for the sampling oscilloscope(k=2, 95 % confidence interval).

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