레이다 신호의 클래스 분리도 측정을 위한 연구

상관계수는 두 변수 간에 선형적 관계를 측정하는 통계적 방법이다^[9]. 상관계수의 범위는 −1에서 1이고, 두 변수의 크기와 방향이 동일하면 1, 크기는 같고 방향이 정반대면 −1이다. 제안된 방법은 RCS의 경우 두 신호의 상관계수를 구하고, 1차원 레이다 신호의 경우 선형 이동을 하며 상관계수를 계산하고, 2차원 레이다 신호의 경우 레이다 신호를 회전하면서 상관계수를 계산한다. 그리고 최대 상관 계수를 구한다. 최대 상관계수는 두 신호가 최대한 배열되었을 경우를 나타내기 때문에 이를 활용하면 레이다와 표적 간의 각도 변화로 발생하는 산란점 분포의 변화에 덜 민감하게 된다.

N_p의 크기를 가지는 두 RCS 신호를 r₁, r₂라 하면, 상관계수는 식 (1)로 구할 수 있다.

계산 효율을 높이기 위해 푸리에 변환(Fourier transform)을 식 (1)에 적용한다.

N_L의 크기를 가진 1차원 HRRP를 x₁, x₂라 하면, 두 신호간의 선형 이동에 대한 상관계수는 식 (3)으로 계산할 수 있다.

여기서, k = 1,2,…,N_L, CS[x₂, k]은 k만큼 x₂ 신호를 선형 이동함으로써 구해진다. 최대 상관계수는 식 (4)로 계산한다.

선형이동에 대한 상관계수를 구하는 것은 많은 연산을 필요로 함으로 푸리에 변환(Fourier transform)을 이용하여 이들 연산을 고속으로 수행한다.

여기서, FT_1D[•]과 IFT_1D[•]는 1차원 푸리에 변환과 역 푸리에 변환을 각각 나타낸다.

2차원 레이다 신호인 ISAR 영상 신호를 I₁(x_i, y_j), I₂(x_i, y_j)를 가정하자. 여기서, i = 1,2,…,N_L j = 1,2,…, N_c, N_L는 거리 방향의 픽셀 수, N_c는 수직 거리 방향의 픽셀 수이다. I₁(x_i, y_j)과 I₂(x_i, y_j)의 회전 중심이 같다고 가정하면, 두 ISAR 영상 간의 상관계수는 식 (4)로 구할 수 있다.

여기서 m = 1,2,…N_θ, Rot[I₂,θ_m]는 I₂를 θ_m만큼 회전시킨 영상, N_θ는 각도 개수이다. 연산 효율성을 향상시키기 위해 식 (6)에 푸리에 변환을 적용한다.

여기서, m = 1,2,…N_θ, FT_2D[•]과 IFT_2D[•]는 2차원 푸리에 변환과 역 푸리에 변환을 각각 나타낸다. 최대 상관계수는 식 (8)로 계산한다.

식 (2), (6), (8)을 이용해 구해진 최대 상관계수를 사용하여 클래스 내 상관 행렬(within-correlation matrix)과 클래스간 상관 행렬(between-correlation matrix)을 각각 구할 수 있다. N_θ는 각도 개수, N_t는 표적의 수일 때, p번째 표적의 클래스 내 상관 행렬은 식 (9)로 구할 수 있다.

여기서, p = 1,2,…,N_t, ${\rho }_{p^i,p^j}$는 p 표적의 각도 i와 j 간의 최대 상관계수를 나타낸다. 다음으로 표적 p와 표적 q 사이의 클래스간 상관 행렬은 식 (10)으로 구할 수 있다.

여기서, p = 1,2,…,N_t, q = 1,2,…,N_t, p ≠ q, ${\rho }_{p^i,q^j}$는 표적 p의 각도 i와 표적 q의 각도 j 간의 최대 상관계수를 나타낸다.

그림 1은 F16의 HRRP를 이용하여 계산된 클래스 내 상관 행렬을 나타낸다. 클래스 내 상관 행렬의 주대각(main diagonal) 성분은 두 신호 x₁, x₂간의 병진 이동 성분을 제외하고는 동일함으로 단위원(unity)이 된다.

그림 2는 F16과 YF23간의 HRRP를 이용하여 계산한 클래스간 상관 행렬을 나타낸다. 여기서, HRRP가 우수한 식별성능이 나타낸다면 클래스 내 상관 행렬의 상관계수의 값들은 크고, 반면 클래스간 상관 행렬의 상관계수들은 작은 값을 가진다. 이러한 클래스 내 상관 행렬과 클래스간 상관 행렬의 성질을 이용하여 클래스 내 상관 행렬에서 클래스간 상관 행렬을 빼어 새로운 상관 기반 분리 행렬(correlation-based discriminant matrix)을 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서, p = 1,2,…,N_t, q = 1,2,…,N_t, p ≠ q, i = 1,2,…,N_θ, j = 1,2,…,N_θ이다.

그림 3은 클래스 내 상관 행렬과 클래스간 상관 행렬을 이용하여 구성된 상관 기반 분리 행렬을 나타낸다. 상관 기반 분리 행렬의 각 요소를 상관 기반 분리 비율(correlation-based discriminant ratio)라 하고, 이를 이용하면 HRRP의 클래스 분리 능력을 측정할 수 있다. 즉, 상관 기반 분리 행렬이 큰 값을 많이 포함하고 있다면, HRRP는 식별 성능이 높게 나타난다.

상관 기반 분리 행렬 값들의 분포를 확인하기 위해 그림 3에 대응하는 누적 분포 함수(cumulative distribution function)를 그림 4에 나타내었다. 누적 분포 함수는 확률분포에서 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내고, 이를 이용하여 상위 확률 F(x)에 응답하는 x을 식 (12)로 구할 수 있다.

x는 상관 기반 분리 행렬의 큰 수의 양을 정량적으로 분석할 수 있게 해준다. 즉, x의 값이 크면 상관 기반 분리 행렬에 큰 값이 많다는 것을 의미하고, 클래스 분리 능력이 높다.

총 표적의 수가 N_t이면, 한 개의 표적에서 N_t-1개 의 클래스간 상관행렬과 상관 기반 행렬을 각각 구할 수 있다. 따라서 총 표적에 대한 상관 기반 행렬의 개수는 N_t×(N_t-1)이고, 모든 표적에 대한 확률 x의 평균은 식 (13)을 이용하여 구할 수 있다.

여기서, i는 표적의 인덱스이고, j는 i번째 표적에서 $\overline{x}$ 에 상응하는 인덱스가 된다. X_coeff의 크기가 크다면, 높은 클래스 분리 능력을 나타내기 때문에 X_coeff를 이용 하여 레이다 신호의 분리 능력 추정할 수 있다.

제안한 방법의 클래스 분리 능력을 평가하기 위해 4개의 비행기(F16, Gripen, Mig25, YF23)를 이용하여 실험을 수행하였다(그림 5). 이들의 RCS 데이터를 얻기 위해 VIRAF (virtual aircraft framework)의 물리광학법(physical optics: PO)과 물리광학 회절이론(physical theory of diffraction: PTD)을 사용하여 계산하였다^[12]. 측정 고각은 90° 고정, 관측각도는 0°～180°에 샘플 간격은 1°로 샘플 개수는 181이다. 주파수 대역은 14.75～15.25 GHz이고, 대역폭은 500 MHz, 주파수 샘플 간격은 0.005 GHz, 샘플 개수는 101이다. 이를 기반으로 레이다 단면적, 고해상도 거리측면도, ISAR 영상에 대한 데이터를 식 (14)～식 (16)으로 구성하였다.

여기서, ∪는 합집합, υ는 F16, Gripen, Mig25, YF23순서로 대응하는 표적을 나타낸다. $RC{S}_{N_p\times N_{\theta }}^{\upsilon }$은 υ번째 표적과 관련된 RCS 서브 데이터베이스이고, N_p는 주파수 개수로써 101개, N_θ는 고각 개수로 181개이다. $HRR{P}_{N_L\times N_{\theta }}^{\upsilon }$는 υ번째 표적과 관련된 HRRP 서브 데이터이고, N_L은 거리 방향의 픽셀수로 101개이다. $ISA{R}_{N_c\times \left[N_L{N}_{\theta }\right]}^{\upsilon }$는 υ번째 표적의 ISAR 영상에 대한 서브 데이터이고, N_c는 수직 거리 방향의 픽셀수로 101개이다. 따라서 $ISA{R}_{N_c\times \left[N_L{N}_{\theta }\right]}^{\upsilon }$의 크기는 101×18281이다.

식 (9)와 (10)을 이용하여 RCS, HRRP, ISAR 영상에 대한 클래스내 상관행렬과 클래스간 상관행렬을 구하고, 식 (11)을 이용하여 상관기반 분리 행렬을 구한다. 대표적인 상관기반 분리 행렬을 그림 6～그림 8에 나타내었다. 그런 다음 식 (13)을 이용하여 X_coeff를 구하였다. 표 1은 RCS, HRRP, ISAR 영상에 대한 X_coeff를 나타내었고, X_coeff는 0.132, 0.3319, 0.4326으로써 RCS, HRRP, ISAR 영상 순서로 커진다.

제안한 방법과 비교하기 위해 기존 방법인 선형판별 분석법(linear discriminant analysis: LDA)과 바타차야 거리(Bhattacharyya distance)를 적용하였다. LDA를 이용하여 클래스 분리 능력(J₁, J₂)을 구하였고, 표 2에 나타내었다. 그 결과, J₁, J₂는 RCS가 16.26과 13.16으로 가장 컸고, ISAR 영상은 10.12, 6.19로 가장 작았다. 표 3은 바타차야 거리를 이용한 클래스 분리 능력을 나타낸다. 그 결과, RCS, HRRP, ISAR 영상은 731, 4210, 765이고, RCS, ISAR 영상, HRRP 순으로 클래스 분리 능력이 커진다. 제안한 방법과 기존 방법의 경우, 클래스 분리 능력을 측정하는데 있어 차이가 있다. 제안한 방법의 유효함을 증명하기 위해 최근접 구분기(nearest-neighbor classifier)를 사용하여 표적 식별 과정을 수행하였다. 식 (14)～식 (16)의 전체 데이터에서 훈련 데이터는 각도를 0°～180°까지 10° 간격으로 증가시켜 식 (17)～식 (19)로 구성한다.

여기서, υ는 F16, Gripen, Mig25, F117 순서로 대응하는 표적을 나타내고, N_s는 고각 샘플 개수로 19이다. $RC{S}_{N_p\times N_s}^{\upsilon },HRR{P}_{N_L\times N_s}^{\upsilon },ISA{R}_{N_c\times \left[N_L{N}_s\right]}^{\upsilon }$, 는 RCS, HRRP, ISAR 영상 관련한 서브 훈련 데이터이다. 나머지 데이터는 테스트 데이터로 식 (20)～식 (22)에 저장한다.

여기서, N_test는 테스트를 위한 고각 갯수로 162이다. $RC{S}_{N_p\times N_s}^{\upsilon },HRR{P}_{N_L\times N_s}^{\upsilon },ISA{R}_{N_c\times \left[N_L{N}_s\right]}^{\upsilon }$는 RCS, HRRP, ISAR 영상 관련한 서브 테스트 데이터이다.

각 표적의 식별 성능은 전체 시험 데이터 중에서 올바르게 구분할 수의 비율로 식 (26)으로 구한다.

표적 식별 성능 결과는 표 4～표 6에 혼동 행렬(confusion matrix)로 나타내었다. RCS, HRRP, ISAR 영상에 대한 표적 식별 성능 P_c는 각각 24.84%, 53.86%, 69.28%이다. 즉, RCS, HRRP, ISAR 영상 순으로 높다. 이러한 결과는 제안한 방법의 결과와 잘 일치한다. 하지만, 기존의 LDA와 바타차야 거리의 경우 신뢰성 있는 결과를 보여주지 못한다. LDA의 경우, ISAR 영상의 크기는 101(i.e., 거리 방향 샘플 수)×101(i.e., 수직 거리 방향 샘플 수)= 10212다. 이것은 테스트 샘플 수(i.e., 181)의 비해 훨씬 크기 때문에 클래스내 분산 행렬(within-class scatter matrix) 이 특이점(singulairy) 문제를 야기하고, 클래스간 분리 능력을 잘못 추정하게 된다. 바타차야 거리의 경우 레이다 신호의 가우시안 분포를 가정하게 되는데, 넓은 각도의 레이다 신호의 경우 가우시안 분포에 부합하지 않기 때문에 정확한 분리 능력을 추정하는 것이 어렵다.

결과론적으로, 제안한 방법의 경우 레이다 신호의 크기나 혹은 분포에 상관없이 정확하게 클래스간 분리 능력을 추정할 수 있다.