스포트라이트 모드 SAR 영상 형성에서의 수정된 가중치 최소 자승기법에 의한 자동 초점 알고리즘

AF는 일반적으로 SAR 영상의 거리 압축 방위 푸리에 변환 도메인(range compressed phase history) 신호에서 방위 위상을 추정하여 보상하게 된다^[1]～^[5].

φ(m,n)을 n번째 거리 빈(range bin) 내의 m번째 위치에서의 방위 위상 값이라고 하고, 다음과 같이 표현할 수 있다.

ϕ_e(m)은 AF에 의해서 추정하고자 하는 위상 오차이며, ϕ_c (m)은 n번째 거리 빈에 위치한 클러터들에 의한 위상 값이다. 거리 빈의 위상 값에는 빈마다 다른 임의의 상수 편차가 포함되어 있으나, WLS-AF 기법^[5]에서 제시한 LPU(Local Phase Unwrapping) 방식에 의해서 쉽게 제거가 되므로, 여기서는 언급하지 않기로 한다. M은 방위 방향 샘플 개수이며, N은 거리 빈(샘플) 개수이다. ϕ_e(m)은 거리 빈이 달라져도 변하지 않는다는 게 일반적인 가정이므로 n의 함수가 아니나, ϕ_c(m,n)은 거리 빈 위치마다 다른 클러터들에 의한 위상 값이므로, n이 달라지면 서로 다른 위상 값으로 나타난다. ϕ_c(m,n)의 분산을 ${\sigma }_n^2$라고 한다면, ϕ_e(m)의 WLS 추정치 $\widetilde{{\varphi }_e\left(m\right)}$는 다음 처럼 표현할 수 있다.

여기서 w_n은 가중치가 되며, ${\sigma }_n^2$이 커질수록 가중치가 작아지는 반비례 관계가 된다. WLS-AF에 의한 추정 오차의 분산 ${\sigma }_e^2$은 다음 식 (3)처럼 나타난다.

식 (3)에 의해서 추정 오차의 분산은 n이 커질수록 작아지므로, 이는 보다 많은 거리 빈을 사용할수록 오차가 작아지게 됨을 의미하며, 추정 오차의 분산을 최소화한다는 측면에서 최적 추정치라고 할 수 있다.

${\sigma }_n^2$을 알 수 있다고 한다면, 식 (2)에 의한 $\widetilde{{\varphi }_e\left(m\right)}$추정이 직접적으로 가능하나, 실제 SAR 영상 신호에서 ${\sigma }_n^2$값을 직접 알 수 있는 방법은 없기에, 영상의 방위 푸리에 도메인 신호 진폭으로부터 SCR을 계산하여 강한 표적 신호와 클러터 신호의 비가 큰 순서 데로 거리 빈을 정렬하고, 복잡한 Taylor 근사화를 이용하여 ${\sigma }_n^2$을 계산하는 방법을 아래와 같이 제시하였다.

A(m,n)은 방위 푸리에 변환 도메인 신호의 진폭을 나타낸다. 위의 수식에 의한 계산 방식은 많은 근사화를 포함한 유도이므로 SCR이 클 경우(High SCR)에는 작은 오차를 갖게 되나, SCR이 작을 경우(Low SCR)에는 오차가 크게 증가하여 적용할 수 없음을 설명하고, 다음의 방안을 제시하고 있다. Low SCR 경우를 위한 두 번째 방안은 모든 거리 빈에 대해서 ${\sigma }_n^2$을 한꺼번에 계산하여 식 (2)에 적용하는 것이 아니라, 가장 큰 SCR을 갖는 거리 빈의 위상 값을 위상 오차 $\widetilde{{\varphi }_e}$의 초기 추정치 $\widetilde{{\varphi }_{e_1}}$로 놓는다. 그리고 SCR이 큰 순서대로 정렬한 방위 수신 신호들에 식 (5)를 적용하여 거리 방향으로 반복적으로 ${\sigma }_{p+1}^2$ 구하게 되되며, 이를 가중치에 반영하여 $\widetilde{{\varphi }_e}$를 점진적으로 추정한다. 추정한다. p를 한 번 증가시켜 구한 $\widetilde{{\varphi }_{e_1}}$를 식 (2)에서 ${\sigma }_n^2$ 자리에 치환하고, N 대신 p+1까지 계산한 결과는 $\widetilde{{\varphi }_{e_{p+1}}}$이 되며, p가 증가할수록 추정 오차의 분산이 작아게 되므로, 이를 최소화하는 관점에서 $\widetilde{{\varphi }_{e_{p+1}}}$는 최적 추정치가 된다고 언급하고 있다.

실제 SAR 원시데이터를 획득하여 영상을 형성한 결과에 WLS-AF를 적용해 본 결과, 식 (4)의 R을 이용해 SCR을 구하고, 이를 큰 순서대로 정렬한다고 했을 때, 많은 거리 빈에서 R ≥ 0 이 아닌 복소수 값 형태로 나타나는 경우가 다수 발생하였다. 식 (4)에서 R ≥ 0 인 실수가 되는 조건을 확인하기 위해 c와 d 사이의 관계를 분석해 보면 다음과 같이 나타난다.

c² ≤ d은 수학적으로 언제나 만족하는 조건이나, d ≤ (4/3)c²에 의해서 R ≥ 0인 실수가 되는 경우는 매우 제한적인 조건을 만족하는 거리 빈만 선택 가능하다. 이로 인해 SCR을 계산할 수 있는 일부의 거리 빈만으로 WLS-AF에 의한 추정을 할 경우, 많은 거리 빈을 사용할수록 추정오차의 분산이 작아진다는 식 (3)을 충족하지 못하게 되어 추정 정확도가 떨어지게 된다. 또한 SCR이 작은 경우를 위한 식 (5)번에서도 SCR 크기순으로 정렬이 잘 되어야만 최종 위상 오차 추정 정확도에 큰 영향을 미치게 되나, 기존 WLS-AF에서는 SCR이 클 경우에만 쓸 수 있는 식 (4) 외에 Low SCR 경우를 위한 표적 선정 및 정렬 방식을 전혀 언급하지 않고 있다. 우리는 SAR 영상에서 방위 신호의 진폭 정보로부터 WLS-AF에 유리한 거리 빈을 선택하고 정렬하여, 많은 거리 빈을 WLS-AF 기반의 위상 오차 추정에 사용하여 위상 오차의 분산을 최소화하는 최적 AF를 구현하기를 원한다.

2-2-2 방위 표적 길이 차이에 의한 성능 편차 극복

오리지널 PGA에서는 전체 방위 길이에 대해서 방위 위상 오차 추정 후 보상하고, 그 길이를 일정 비율로 감소시키며 방위 해상도를 고려한 일정 길이로 줄어들 때까지 반복 적용(iteration) 하며 위상 오차를 반복 추정 및 보상한다. 이렇게 함으로써 거리 빈 내 클러터의 영향을 지속적으로 줄여가면서 위상 오차 추정 정확도를 높여가는 접근법을 사용하게 되며 이는 오리지널 PGA의 핵심 기법 중 하나이다^[3],^[4]. 하지만 방위 영상의 전체 길이를 시작 길이로 할 경우, 필요 이상으로 연산량이 크게 증가하며, 또 시작 길이를 너무 작게 할 경우, 방위 위상 오차를 정확하게 추정하지 못할 수 있다^[8]. 이러한 고려 사항은 WLS-AF에서도 유효하나, 기존 WLS-AF에서는 방위 반복 위상 오차 추정 방식을 적용하지 않으므로, 초기 방위 표적 길이가 최종 방위 표적 길이가 된다. 즉, 방위 표적 길이 차이로 인해 위상 오차 추정 정확도가 달라질 수 있음을 의미하며, 방위 샘플 간격과 잔여 위상 오차의 영향 등을 고려하여 적절한 길이(샘플 수)를 결정하여야 한다. 이것은 시도 및 오차(trial and error) 접근법에 의해서 적절한 길이를 선정할 수도 있다. 우리는 실질적 활용 관점에서 견고한 성능을 항상 보장하고자, 방위 방향의 표적 길이를 일정 크기 이상에서 시작하고, 그 길이를 줄여가면 서 잔여 위상 오차를 추정해 가는 반복 적용 방식이 WLS-AF에서도 유효함을 입증한다. 이로 인해 연산량이 다소 증가하게 되나, 적절한 방위 표적 길이를 선정하지 못해서 생기는 성능 열화를 배제하게 된다. MWLS-AF에 대한 블록 다이어그램을 그림 1에 나타내었다. N_r은 사용한 거리 빈 수이며, N_i은 방위 방향 반복 횟수를 나타낸다.

그림 1. | Fig. 1. MWLS-AF 블록 다이어그램 | MWLS-AF block diagram.

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N_i=1일 때, MWLS-AF에서 방위 표적 길이 차이에 의한 위상 추정 결과를 그림 4에 나타내었다. WLS-AF의 최적화 관점에 따라 오차의 분산을 최소화하기 위해 1,000개의 거리 빈을 모두 사용한 결과이다. 그림 5의 최종 방위 위상 오차 추정 결과 중에서, 그림 6의 추정 위상 오차를 보상한 영상 형성 결과 중 가장 우수한 결과를 보여준 (e) PGA와 (f) MWLS-N_i=3에 해당하는 위상 오차 추정 결과와 비교했을 때, 방위 표적 길이가 256일 때의 위상 오차 추정 결과가 추정 위상 오차의 형태 및 크기에서 제일 유사하므로 상대적으로 가장 정확함을 확인할 수 있다. 방위 표적 길이가 너무 길 때에는 같은 거리 빈 내의 주변 클러터들의 영향이 커져서 위상 오차 추정 정확도가 저하되고 있으며, 반대로 너무 짧을 때에는 표적의 위상 오차가 나타나는 방위 길이를 충분히 포함하지 못하여, 위상 오차 추정 정확도가 크게 저하되고 있음을 알 수 있다.

그림 4. | Fig. 4. 표적 길이 차이에 의한 위상 추정 결과 | Phase estimation by target length difference.

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그림 5. | Fig. 5. 방위 위상 오차 추정 결과 | Azimuth phase error estimation results.

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그림 6. | Fig. 6. SAR 영상형성 결과 | SAR image formation results.

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최종적으로 제안하는 방위 방향 반복 적용 MWLS-AF의 성능을 검증하기 위해 기존 WLS-AF의 High SCR, Low SCR, PGA, 그리고 MWLS-AF에서 N_i=1과 N_i=3일 때의 위상 추정 정확도 및 추정된 위상 오차를 보상한 SAR 영상 형성 결과를 비교 분석하기로 한다. 기존 WLS-AF에서 제안한 SCR 계산 수식에 의해 유효한 거리 빈은 10개뿐이므로, 이것만으로 High SCR, Low SCR을 위한 WLS-AF를 적용한다. WLS-AF와 N_i=1인 MWLS의 경우, 가장 좋은 위상 오차 추정 결과를 나타낸 256개의 샘플을 방위 표적 길이로 사용하였다. PGA의 경우, 초기 방위 표적 길이로 충분히 큰 512 샘플로 선정하고, 50 %씩 샘플 수를 감소시키며 적용하였으며, 거리 빈은 1,000개를 모두 사용하였다.

N_i=3인 MWLS에서도 PGA와 동일하게 초기 방위 표적 길이 512, 거리 빈 1,000개, 50 %씩 샘플 수를 감소시키키며 반복 적용하였다. 그로 인한 위상 오차 추정 결과와 추정된 위상 오차로 보상한 영상 형성 결과를 그림 5 및 그림 6에 각각 나타내었다. 그림 5에서 WLS-AF의 경우, High SCR와 Low SCR에 의한 위상 추정 결과가 PGA, MWLS-AF의 경우와 형태 및 크기 면에서 상당한 차이가 있음을 쉽게 확인할 수 있다. 그리고 Low SCR일 때의 추정 결과가 High SCR일 때의 ${\sigma }_n^2$를 직접 계산한 결과보다 더 정확함을 알 수 있다. 이는 주어진 영상에서 R ≥ 0을 만족하는 거리 빈이 오직 10개뿐인 SCR이 작은 경우라 오차가 크게 증가하여 정확도가 떨어진 것으로 보인다. 그림 6의 SAR 영상에서 보면, 10개의 거리 빈에 의한 결과라고 했을 때, 크게 개선이 된 결과라고 볼 수도 있으나, 사용 가능한 거리 빈의 수가 작기에 마치 역필터(inverse filtering) 방식^[3]처럼 개선이 이루어졌다고 할 수 있다. 이럴 경우 이상적인 점표적에 근접한 거리 빈이 존재했고, 선택했다면 상당한 성능 개선을 기대할 수 있으므로, 어느 정도 개선된 결과가 나타났다고 분석할 수 있으나, 실제 환경에서는 이러한 조건을 항상 만족한다고 볼 수 없는 것이 타당하다.

N_i=1인 MWLS에서도 Q_k에 의해 모든 거리 빈 정렬이 가능하므로 기존 방식보다는 성능 개선이 크게 되었음을 그림 5 및 그림 6을 통해 확인할 수 있다. 하지만 위상 오차 추정 결과뿐 아니라, SAR 영상에서 해상도 및 방위 ISLR(Integrated Side-Lobe Ratio) 성능 등이 열화되어 있음을 쉽게 확인할 수 있다. 마지막으로 그림 6에서 위상 오차 보상 후 영상의 성능 개선 정도가 가장 우수하고 유사한 (e)와 (f)에 적용한 방위 위상 오차 추정 결과를 그림 5에서 서로 비교해 보면 상당히 유사함을 확인할 수 있다. 기존 WLS-AF의 제안 목표 및 결과가 PGA보다 나은 성능을 보인다는 것이었으나, 실제 SAR 영상에 적용해 보았을 때, 본 논문에서 제안한 방위 반복 적용 MWLS-AF를 적용하여 성능을 안정적으로 크게 개선한 결과와 비교하더라도, PGA 적용 결과보다 반드시 더 좋다고 할 수는 없었다. 이는 SAR 영상의 표적 지역 특성에 따라 일부 작은 성능 차이를 보이는 것일 뿐, PGA와 WLS 기반 AF 사이 어느 방식이 항상 우수하다고 결론 내리기 어렵다고 할 수 있다. 하지만 제안한 방식은 기존 WLS-AF와 비교 시 성능 개선 편차가 발생하지 않는 안정적인 개선이 가능하다는 점에서 확실히 우수하다고 할 수 있다.