다중 저속 ADC를 이용한 광대역 DFD 구조 설계

그림 1과 같이 신호를 I/Q 성분으로 분리하면, 분리된 신호를 N-way 전력분배기를 통해 N 개의 채널로 분리한다. 분리된 각 신호는 저속의 ADC에서 정확한 측정을 위해 필요시 Hittite사의 HMC1061LC5 Track&Hold 소자와 같이 ADC의 full power bandwidth를 확장시키기 위한 소자를 적용할 수 있다. 이 때, 각 채널은 I와 Q 성분을 모두 샘플링 가능한 2개의 동일 속도의 ADC를 내부적으로 보유한 것으로 간주하고 설명한다. N 개의 채널은 모두 다른 샘플링 속도를 가지는 ADC로 구성되며, 각각은 입력신호 주파수 대비 Nyquist 샘플링 조건을 만족하지 못하는 낮은(sub-Nyquist) 샘플링 속도를 가지도록 설계한다(그림 2). 이 때, 각 ADC에서 샘플링된 I/Q 성분들로 신호의 위상을 측정하고, 식 (1)과 같이 측정된 위상값의 샘플간 변화를 통해 신호의 주파수를 계산한다. 이 때, 입력신호 주파수에 비해 낮은 샘플링 속도의 ADC를 적용하게 되므로, 신호측정결과에 모호성이 발생한다. n 번째 ADC의 샘플링 속도를 $f_{s_n}$이라 하면, 입력신호 주파수에 따라 식 (1)에 의해 측정된 주파수의 모호성은 그림 3과 같은 패턴으로 나타난다.

주파수 측정 결과는 입력신호와 샘플링속도에 의해 결정되며, 식 (2)와 같이 표현된다. 식 (2)에서 %는 모듈러 연산을 의미한다.

따라서, 샘플링 주파수를 다르게 가져갈 경우, 입력신호의 주파수 변화에 따라 서로 다른 모호성을 나타내게 되며, 그림 4는 $f_{s_1}=94\text{MSPS},f_{s_2}=100\text{MSPS}$를 적용하여 0～1,000 MHz까지의 주파수 신호를 측정하는 경우에 각 채널에서 측정되는 주파수 모호성 패턴을 보여준다.

다음 절에서는 그림 5와 같이 두 개 이상의 신호주파수 측정채널에서 측정한 모호성이 포함된 결과를 이용하여 신호의 주파수를 모호성없이 추정하는 방법을 구체적으로 설명한다.

그림 5와 같이 모호성이 포함된 다수의 주파수 측정값을 이용하여 입력신호 주파수를 유추하기 위해서는 측정하고자 하는 신호주파수 범위 내의 두 개 이상의 입력신호 주파수에서 동일한 모호성 결과를 발생하는 경우가 없도록 각 ADC의 샘플링 속도를 결정하여야 한다. 또한, 신호의 주파수 측정값이 잡음과 같은 주파수 측정오차에 의해 전혀 다른 신호의 주파수 측정값으로 판단되는 경우(이하 주파수추정 모호성)를 방지하기 위해, 입력신호에 대한 각 채널의 주파수 측정값의 조합은 일정 이상의 이격거리를 확보하여야 한다. 측정값들 간의 간격을 확인하기 위해 두 개의 ADC 채널을 이용할 경우, 각 채널에서 측정되는 신호의 주파수를 2차원 평면에 도시하여 서로 다른 입력신호에 의한 주파수 측정값의 조합 패턴을 확인할 수 있고, 서로 다른 두 입력신호의 측정결과가 동일한 결과를 나타내는 경우가 발생하는 지를 확인할 수 있다. 그림 6～그림 8은 0～1,000 MHz까지의 입력신호를 1 MHz 단위로 변경해 가며, 그 때 측정되는 두 채널의 주파수 측정값을 좌표로 하여 평면에 도시한 결과로서, 평면좌표 (0,0)에서부터 시작하여 점들이 일직선(이하 주파수 궤적선)으로 이동해가는 것을 알 수 있다. 만일 두 개 이상의 점이 하나의 좌표에 겹쳐 표시되는 경우, 두 채널의 측정결과로 입력신호의 주파수를 구분할 수 없게 되고, 주파수 궤적선의 간격이 주파수 측정오차보다 좁게 형성될 경우, 두 채널의 주파수 측정오차로 인해 입력신호의 주파수를 유추하는데 큰 오차가 발생하는 주파수 추정 모호성이 발생하므로, 주파수 궤적선간의 간격은 각 채널의 주파수 측정 오차를 고려하여 설계하여야 한다. 동일한 주파수 범위의 입력신호를 처리하더라도 그림 6보다 그림 7이 전체 평면공간을 잘 활용하여 주파수 궤적선의 간격을 넓게 사용함을 알 수 있다. 하지만, 그림 7에서 0 MHz의 측정좌표인 (0 MHz, 0 MHz)과 1,000 MHz의 측정좌표인 (−1 MHz, 0 MHz)이 너무 인접하여 약간의 주파수 측정오차로도 0 MHz와 1,000 Mhz 인근 주파수에서는 입력주파수를 유추하는데 있어 큰 주파수 오차를 발생할 수 있다. 이러한 경우에는 오히려 그림 8과 같이 두 채널의 샘플링 속도를 설정하여 주파수추정 모호성을 줄일 수 있다. 주파수 궤적선은 모두 기울기가 1로 동일하게 진행하므로, 궤적선의 간격은 궤적선이 y축$\left(f_{s_1}=0\right)$과 만나는 값을 확인하여 산출 가능하다. 이러한 궤적선의 간격은 주파수 추정 모호성 확률을 달리하여 최종 주파수 측정정확도에 영향을 준다. 따라서, 궤적선의 간격은 각 채널의 주파수 측정정확도를 고려하여 설정하여야 한다.

각 채널의 주파수 측정정확도는 측정하는 신호의 구간(또는 신호펄스폭)과 신호대 잡음비에 따라 달라질 수 있으며, 측정정확도를 높이기 위한 신호처리방법으로 다양한 방식이 적용될 수 있다.

순시주파수 측정방식(IFM)은 일반적으로 변조가 없거나, 협대역 신호에 대해 짧은 시간 동안의 신호의 위상변화율을 이용하여 주파수를 측정하게 된다. 신호를 샘플링하여 위상을 확인하는 과정에는 잡음과 측정오차 등에 의해 위상 오차가 포함된다. 식 (3)과 같이 연속된 다수의 위상샘플의 시간당 위상변화율의 평균을 이용하여 신호의 주파수를 측정하는 경우, 측정 구간내 측정된 n 개의 위상값 중 최초와 최종 수신된 위상값의 차이를 시간당 변화율로 환상하는 방법이 가장 쉬운 방법이지만, 이 때에는 최초와 최종 위상측정에 포함된 위상오차가 큰 영향을 미칠 수 있다.

가우시안 분포의 오차를 가정할 경우, 최적의 주파수 측정방법은 신호위상값의 변화율을 선형회귀방식으로 구하는 것으로, 측정된 위상값과 추정주파수와의 관계는 식 (4)와 같다.

이는 다시 식 (5)와 같은 선형대수형태로 표현될 수 있으므로 의사역행렬을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다^[7].

위와 같이 선형회귀분석방법으로 주파수를 측정할 경우, 측정 오차 ${\sigma }_{\widehat{freq}}$ 는 위상측정 오차 σ_ϕ에 의해 결정된다. 위상측정오차로 인해 주파수 추정 시 발생하는 오차는 식 (6)과 같다.

주파수 측정정확도에 미치는 위상측정정확도는 신호의 크기가 잡음대비 보다 클 경우 개략적으로 식 (7)과 같이 표현된다^[8].

위의 식에서 SNR은 dB 단위가 아닌 비율값으로 적용된다. 따라서, 신호 주파수의 측정정확도는 신호대 잡음비와 샘플수, 샘플링 속도에 의해 영향을 받는다. 수신기에서 발생가능한 국부발진기(local oscillator)의 위상잡음도 신호의 주파수측정 오차에 영향을 미칠 수 있으나, 그 크기가 미약하고 수신기 잡음지수에 포함시킬 수 있으므로 본 논문에서는 별도로 고려하지 않는다.

이상과 같이 각 채널의 주파수 측정이 완료되면, 이들을 이용하여 입력신호 주파수에 대한 모호성을 제거하는 입력신호 주파수 추정부를 설계한다. 입력신호 주파수 추정과정에 발생할 수 있는 오류 확률은 각 채널의 입력신호 주파수측정 정확도와 각 주파수 측정채널의 샘플링 속도에 밀접한 관계가 있다.

주어진 잡음과 신호길이에 대해 각 채널의 입력신호 측정정확도를 산출 가능하므로, 주파수 궤적선의 간격과 채널의 주파수 측정오차에 의해 발생가능한 주파수 추정 시 발생가능한 오류 확률을 확인하여 설계기준을 만족할 수 있도록 각 채널의 샘플링 속도를 결정하여야 한다. 샘플링속도 조합에 의해 결정되는 주파수 궤적선 간격과 주파수 측정 정확도로 인해 발생할 수 있는 입력주파수 추정 오류는 그림 9와 같이 설명될 수 있다.

입력신호의 주파수를 추정하는 방법은 각 채널에서 측정한 주파수 값의 조합과 가장 유사도가 높은 값의 조합을 발생시킬 수 있는 입력주파수를 찾는다. 그림 9와 같이 각 채널의 주파수 측정에 오차가 포함되고, 그 값의 위치가 원래 해당 입력주파수에 해당하는 값이 아닌, 주변 주파수 궤적선에 해당하는 값과 더 가까워지면, 주파수 측정결과에 큰 오차(주파수추정 모호성)가 발생하게 된다. 각 채널의 주파수 측정정확도의 RMS 값을 식 (6)을 통해 산출할 경우, 2차원 평면상에 각 채널의 주파수측정값의 분포를 확인할 수 있고, 이로 인해 주어진 주파수 궤적선의 간격에서 발생할 수 있는 주파수 추정 모호성의 확률 또한 산출 가능하다.

FFT와 같은 주파수 측정방식이 아닌 순시주파수 측정방식을 사용하는 경우는 레이다 신호와 같이 신호구간(펄스폭)이 최소 100 ns 수준까지 짧은 경우를 처리할 수 있어야 하므로, 최소 신호구간의 길이는 100 ns 이상으로 설정한다.

대상신호의 펄스폭과 신호의 샘플링 주파수 변화에 따른 신호주파수 측정오차의 RMS 값은 그림과 같다. 그림 10에서와 같이 신호 펄스폭이 길어지고, 샘플링 속도가 빨라지면 더 많은 샘플을 획득할 수 있어 더 좋은 측정 정확도를 보여준다. 하지만, 동일한 신호펄스폭에서는 샘플링 속도가 빨라지면 측정정확도가 나빠지는 구간들을 보여주는데, 이는 샘플링 속도가 증가하더라도 측정되는 샘플 수가 증가하지 않는 구간에서는 오히려 신호측정구간이 일부 줄어들어 신호펄스폭이 축소되는 것과 동일한 효과가 발생하기 때문이다.

측정대상 레이다의 최소 신호펄스폭을 100 ns, 신호대잡음비를 13 dB, 입력신호의 주파수범위는 0～1,000 MHz, 채널별 샘플링속도를 92 MHz와 101 MHz로 각각 설정할 경우, 각 채널의 RMS 오차는 0.255 MHz, 0.243 MHz이며, 주파수 궤적선 간격은 $9/\sqrt{2}\text{MHz}$로 설정된다. 두 채널의 주파수 측정 RMS 오차가 거의 유사하므로, 오차값을 RMS 0.25 MHz로 개략적으로 설정하여 분석한다. 주파수 궤적선의 간격의 절반값보다 높은 주파수 측정오차가 발생하는 경우에 모호성이 발생하므로, 모호성 발생과 관련된 오차는 정확히 주파수 궤적선과 수직인 성분이다. 이는 주파수 궤적선과 수직된 성분의 주파수 오차의 정규분포의 확률값을 통해 확인할 수 있다. 결과적으로, 주파수 추정 모호성 경계선까지의 거리$(9/2\sqrt{2}\text{MHz})$와 주파수측정오차 RMS(0.25 MHz)값의 비율이 12배 이상임을 고려하면, 모호성 발생확률을 배제할 수 있을 정도의 주파수 궤적선 간격을 보유하고 있음을 알 수 있다. 주파수 궤적선의 간격이 여유가 있음은 다시 말해, 2개의 채널로 일부 샘플링속도를 조절하여 더 넓은 주파수범위의 신호를 측정 모호성없이 측정 가능함을 의미한다. 주파수추정 모호성이 발생하지 않는 경우의 주파수 측정정확도는 주파수 궤적선과 평행한 방향의 오차분포를 따르므로 각 채널의 주파수측정 정확도에 의해 결정된다. 구체적으로는 각 채널의 주파수측정값으로 구성된 2차원 오차분포에서 주파수 궤적선과 평행한 단면의 오차분포를 따르게 된다.

동일한 주파수 측정 채널수를 유지한 가운데 측정해야할 주파수 범위가 넓어지게 될수록 주파수 궤적선의 수가 많아지게 되어 주파수 궤적선 간의 간격이 좁아지게 되고, 모호성 발생확율이 높아지게 된다. 모호성 발생을 줄이기 위해서는 주파수 궤적선의 간격을 더욱더 넓혀야 한다. 하지만, 공간의 넓이 제한으로 인해 주파수 궤적선의 간격을 넓히는데는 한계가 있다. 예를 들어 상기의 두 채널의 샘플링 속도로 인해 만들어지는 주파수 궤적공간의 넓이는 92×101 MHZ²이며, 이 때 대역폭 1,000 MHz의 입력주파수를 처리할 수 있는 최대 주파수 궤적의 간격은 $92/(1000/101)/\sqrt{2}\text{MHz}$를 넘을 수 없다. 이 때, 처리해야할 입력신호의 주파수 대역폭이 10 GHz라면, 주파수 궤적선의 간격은 이론상 최대 $92/(10000/101)/\sqrt{2}$을 넘을 수 없고, 이는 높은 확률의 모호성을 발생시키게 된다.

이와 같이 더 넓은 범위의 주파수를 모호성 없이 측정하기 위한 방법으로는 두 채널에 적용된 ADC의 속도를 높여 공간의 넓이를 확장하는 방법이 있다. 주파수 궤적선이 존재하는 공간을 확장하여 궤적선 간의 간격을 넓히는 방법이다. 하지만 이는 ADC의 속도 증가를 요구한다. 또 다른 접근법으로 ADC의 속도를 낮게 유지한 가운데 주파수 측정채널의 수를 증가시켜, 궤적선을 그려내는 공간의 차원 수를 확장하는 방법이 있을 수 있다. 예를 들어 주파수측정 채널의 수를 3으로 확장하면, 주파수 궤적선이 존재하는 공간을 3차원으로 확장할 수 있다. 그림 11은 3개의 주파수 측정 채널이 각각 92 MSPS, 101 MSPS, 64 MSPS의 속도로 동작할 때, 입력신호의 주파수에 따라 각 채널에서 측정되는 주파수 측정결과를 보여준다.

그림 12는 위에서 보여준 3채널의 주파수 측정값을 3차원 공간에 전시한 주파수 궤적선의 3차원 분포이며, 이때의 궤적선의 간격은 5.6 MHz 이상의 간격을 보유하여 모호성 발생을 억제할 수 있다.

그림 13은 주파수 궤적선의 간격을 보기 쉽도록, x, y, z축의 (1,1,1)벡터 방향에서 바라본 주파수 궤적선의 분포이며, 각 주파수 궤적선이 전체 3차원 공간에 골고루 분포되어 있음을 볼 수 있다. 이와 같이, 주파수 궤적선의 분포를 고려하여 낮은 샘플링 속도에서도 입력신호의 주파수 측정값이 모호성 없이 측정될 수 있도록 각 채널의 샘플링 속도를 결정할 수 있다.

모호성이 최소화되도록 각 채널의 샘플링 값이 결정되었다면, 각 채널의 측정 주파수값을 이용하여 입력신호의 주파수값을 유추하여 환산할 수 있어야 한다. 입력신호 주파수값 추정은 각 측정채널의 주파수 측정값을 조합하여, 가장 유사한 측정결과를 발생시킬 수 있는 입력신호의 주파수 값으로 추정한다. 이 때, 빠른 입력신호 주파수 추정을 위해 메모리를 이용할 수 있다. 입력신호의 주파수에 따라 예상되는 각 채널의 측정값을 메모리의 주소값으로 활용하고, 해당 메모리 주소의 내용은 추정되는 입력신호의 주파수를 저장할 경우, 고속으로 별도의 연산 없이 입력신호의 주파수 값을 추정할 수 있다. 예를 들어, 2개의 측정 채널을 이용하여 0～1,000 MHz 범위의 신호를 측정하고, 각 채널의 샘플링속도는 각각 92 MSPS, 101 MSPS이고 측정주파수 해상도를 0.25 MHz로 설정할 경우, 채널의 출력 주파수값은 각각 9 bit의 이진수로 표현될 수 있다. 이러한 경우에는 18 bit 주소 공간을 가지는 메모리를 이용하여 입력신호의 추정 주파수값을 저장하고, 아래와 같은 방식으로 입력신호의 주파수를 환산할 수 있다(그림 14)(표 1).