효과적인 채프 구름의 RCS 예측 방법 비교 분석 연구

방법 1을 통한 채프 구름의 RCS 예측은 레이다의 거리 분해능 및 빔 폭으로 정의되는 공간 내 존재하는 채프의 수 N를 계산하여 결정되며 다음과 같이 나타낼 수 있다^[3].

식 (1)에서 a는 레이다 운용주파수에 해당하는 파장 및 채프들의 평균 간격의 비에 따라 정해지는 상수이며, σ_n (ϕ,ψ)은 ϕ,ψ에 따라 결정되는 채프 구름 내 n번째 채프의 RCS를 의미한다. 여기서 ϕ,ψ는 레이다에서 관측된 n번째 채프의 방위각 및 고각을 의미하며 이들은 레이다 가시선(line of sight) 및 채프의 이동방향, 기울기 등을 통해서 계산될 수 있다^[5].

참고문헌 [4]에서 제안한 채프 구름의 RCS 예측은 크게 2단계로 수행된다. 먼저 1단계에서는 수직 및 수평방향의 확률밀도분포를 공기역학모델을 통해 결정한 뒤, 이를 이용하여 채프 구름의 정규화 된 RCS 밀도를 계산한다. 다음으로 2단계에서 채프 구름의 RCS는 앞서 계산된 정규화 된 RCS 밀도를 레이다 성능에 의해 결정되는 채프 구름 내 체적에 따라 적분함으로써 계산된다.

2-2-1 수직 및 수평방향의 확률 밀도 분포

RCS 예측을 위한 1단계에서 사용되는 채프는 그림 1과 같이 특정 주파수에서 공진을 일으키는 반파장 다이폴 형태로 형성된다. 공기역학 모델링을 위하여 채프의 길이를 l, 반경을 c라고 할 때, 반경에 비해 길이가 매우 큰 경우(c/l≪1) 채프의 하강속도가 느려지기 때문에 흐름 모델(flow model)이 선형 스톡스 방정식(linear Stokes equation)으로 근사화 된다^[6]. 선형 스톡스 흐름 모델의 경우 대칭적인 원통형 구조를 갖는 물체는 하강하는 동안 한번 정해진 기울기가 일정하게 유지되는 특성을 갖는다. 상기 구조를 갖는 채프 또한 하강하는 동안 기울기가 일정하게 유지되며, 이러한 특성을 이용하여 채프의 수직 및 수평속도를 다음과 같이 해석적인 해를 갖는 형태로 나타낼 수 있다^[6].

$$\begin{array}{l}\upsilon =\frac{\tilde{\upsilon }\left(\theta \right)}{\mu \left(z\right)}\hfill \\ \tilde{\upsilon }\left(\theta \right)=\frac{g\text{Δ}\rho c^2}{6}\left\{\left[\ln \left(\frac{l}{c}\right)-\frac{3}{2}\right]{\sin }^2\theta +\left[\ln \left(\frac{l}{c}\right)+\frac{1}{2}\right]\right\}\hfill \end{array}$$

(2)

$$u\left(\theta \right)=\frac{g\text{Δ}\rho c^2}{6\mu (z)}\sin \theta \cos \theta +\left[\frac{3}{2}-\ln \left(\frac{l}{c}\right)\right]$$

(3)

그림 1. | Fig. 1. 다이폴 형태의 채프 | The dipole chaff.

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여기서 θ는 채프의 기울어진 각도를 의미하며 0°일 때 지면과 수평하다. μ는 대기 점성(atmospheric viscosity), z는 높이, g는 중력가속도를 의미하며 Δρ=ρ_body-ρ_air는 채프와 공기의 밀도차이다.

수직방향의 속도는 채프의 기울기 θ에 관한 함수임을 식 (2)에서 확인할 수 있다. 이와 같은 관계를 이용하여 θ에 대한 분포를 통해 시각 t에서 수직높이 z_a보다 높이 있는 채프에 대한 확률을 정의할 수 있으며, 이를 이용하여 z_a에서의 확률 밀도 분포 또한 정의할 수 있다.

(4)

$$W_{\theta }\left(\theta \right)=\frac{2}{{\theta }_e}\left(1-\frac{\theta }{{\theta }_e}\right),0\le \theta \le {\theta }_e$$

(5)

$$\begin{array}{c}{W}_z\left(z_a\right)=-\frac{\partial P\left[z>z_a\right]}{\partial z_a}=-\frac{\partial {\theta }_a\left(z_a\right)}{\partial z_a}{W}_{\theta }\left({\theta }_a\left(z_a\right)\right)\\ =\frac{W_{\theta }\left({\theta }_a\left(z_a\right)\right)}{2tu\left(z_a\right)}\end{array}$$

(6)

식 (5)에서 θ ≥ θ_e일 때 W_θ는 0이며, 선형 스톡스 흐름 모델에서 θ_e ≈ 40°이다^[7].

채프 구름의 수평방향 분포에 일반적인 분포 모델을 적용시킬 경우 일정시간 경과 후 실제 관측된 채프 구름보다 더 큰 반경의 채프 구름을 형성한다. 이와 같은 오차를 보완하기 위하여 그림 2와 같은 나선 운동 모델(helical motion model)을 이용한다^[8]. 바람의 영향이 없을 경우 채프의 분포는 반경 r에 대해 방위적으로 대칭이며, 동일한 높이에 있는 채프들의 수평 속도 u는 동일하지만 서로 다른 각속도 Ω_i를 가지므로 시각 t에서 채프들의 수평 거리는 서로 상이하며 다음과 같다.

그림 2. | Fig. 2. 나선 운동 모델 | Helical motion model.

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$$r=2\frac{u}{{\Omega }_i}\left|\sin \frac{{\Omega }_{i}t}{2}\right|$$

(7)

또한 동일한 높이의 채프들 중 수평 방향 반경 r이 r₀보다 작을 확률은 다음과 같다.

(8)

Γ ≥ 1일 경우 r₀가 항상 채프 구름의 최대 반경 ut보다 크거나 같기 때문에 확률 P[r < r₀]는 항상 1이다.

이와 같은 이유로 r₀에서 확률 밀도 분포는 Γ < 1의 경우에서 유의미하며 다음과 같다^[6].

(9)

먼저 단일 채프의 RCS을 분석을 위하여 그림 3(a)와 같은 채프 computer aided design(CAD) 모델 및 전자기 수치해석 소프트웨어 FEKO 7.0을 사용하였다. 계산에 사용된 채프의 길이, l 및 반경, c는 각각 운용주파수 16.4 GHz에 해당하는 파장 및 적절한 하강속도를 갖도록 고려하여 l=0.009 m 및 c=15 μm로 설정되었다^[2]. 이때 채프의 RCS는 방위각 및 고각 방향으로 각각 1° 간격으로 0°～90° 범위에서 계산되었으며, 수 만개의 채프들로 이루어진 채프 구름의 RCS 계산시간을 단축시키기 위하여 계산된 RCS 결과를 순람표(look-up table)로 구성하였다.

그림 3. | Fig. 3. 채프 RCS 계산을 위한 기하구조 및 특정 고각(0°, 20°, 45°, 60°, 90°)에서 방위각에 따른 RCS 계산 결과 | Geometry for chaff RCS computation and Chaff RCS according to azimuth angle at a certain elevation angle(0°, 20°, 45°, 60°, 90°).

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그림 3(b)～그림 3(f)는 16.4 GHz의 주파수에서 고각이 0°, 20°, 45°, 60°, 90° 일 때, 방위각에 따른 채프의 RCS 계산 결과들이다. 고각이 45° 이하일 때, 대부분의 방위각 영역에서 채프의 RCS는 VV 편파보다 HH 편파에서 큰 값이 계산되었으며, 이는 반파장 다이폴 형태의 채프가 선형 스톡스 흐름 모델에서 대부분 지면과 평행한 방향의 기울기(0° ≤ θ ≤ 40°)로 하강하기 때문이다.

채프 구름의 RCS 예측 시뮬레이션에서 보다 효율적인 계산을 위하여 앞서 계산된 채프 RCS 순람표를 사용하였다. 시뮬레이션 수행환경은 i7-7700K CPU @ 3.5 GHz, 16 GB RAM로 구성된 Desktop과 MATLAB R2017b버전의 소프트웨어로 구성된다.

먼저 채프 구름의 RCS 예측은 채프 구름 내 각각의 채프 RCS를 순람표로부터 불러와 합 연산을 하는 방법(방법 1) 및 확률밀도분포 모델을 적용하여 계산하는 방법(방법 2)로 각각 수행되었다. 이때 두 가지 방법을 통한 채프 구름의 RCS 계산 결과에 대한 비교 및 분석은 N_f 및 시간에 따른 채프 구름의 RCS 예측 결과를 통해 수행된다. 채프 구름의 RCS 예측 실험은 16.4 GHz의 주파수에서 수행 되었으며, 상기 주파수에 해당하는 비교적 짧은 파장에 기인하여 식 (1)의 상수 a는 1로 설정하였다. 또한 채프의 고각 및 방위각은 채프와 레이다사이의 수평 및 수직거리를 각각 1 km 및 30 m로 가정하여 계산되었으며, 채프의 수직거리가 0 m 이하가 되면 해당하는 채프의 RCS를 0으로 하였다. 채프 구름 내 채프의 기울기 및 위치 등은 정확한 예측이 불가능한 확률모형이므로 100번의 몬테카를로 시뮬레이션(Monte-Carlo simulation)을 통해 결과를 추출하였다.

시간에 따른 채프 구름의 RCS 예측 시뮬레이션은 N=1,000,000일 경우를 가정하여 수행하였다. 시뮬레이션은 13초 동안 0.5초 간격으로 수행되었으며, 이때 방법 2의 N_f는 10,000개로 설정하여 수행되었다. 방법 1 및 방법 2로 수행한 시간에 따른 채프 구름의 RCS 예측결과는 그림 4에서 확인할 수 있다. 두 가지 방법으로 예측한 채프 구름의 RCS 결과가 매우 유사한 반면, 방법 1 및 방법 2 수행에 소요된 계산시간은 평균 32.1998초 및 0.2755초로 매우 큰 차이를 보였다. N_f가 방법 2의 정확도 및 계산시간에 끼치는 영향을 분석하기 위하여 N=1,000,000일 때, 방법 2의 N_f 변화에 따른 두 가지 방법의 채프 구름 RCS 오차 및 계산시간을 분석하였다.

그림 4. | Fig. 4. 시간에 따른 채프 구름의 RCS | RCS of chaff cloud over time.

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먼저 HH 편파를 가정할 때, 방법 1 및 방법 2를 통해 계산된 채프 구름 RCS 오차는 다음과 같이 계산하였다.

위 식에서 RCS₁ 및 RCS₂는 각각 방법 1, 2를 통하여 계산된 채프 구름의 RCS(dBsm)이다.

그림 5(a)는 각각 t=3, t=8, t=13에서 N_f=1,000부터 1,000개 간격으로 N_f=20,000까지 시뮬레이션을 수행한 결과를 나타낸다. N_f=1,000일 때 각 시각에 따라서 1.26 %, 9.66 % 및 6.82 %로 가장 높은 오차를 보였으며, N_f=10,000 이상일 때 모든 시각에서 5% 이하의 오차를 보였다. 방법 1 및 N_f별 방법 2의 실험결과에 대한 채프구름의 RCS 및 소요시간은 표 1에서 확인할 수 있다.

그림 5. | Fig. 5. 방법 2의 N_f 변화에 따른 채프 구름의 RCS 오차 | RCS error of chaff cloud according to N_f.

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그림 5(b)는 VV 편파일 때 방법 2의 N_f 변화에 따른 채프 구름 RCS 오차를 나타내며 표 2에서 채프 구름의 RCS 및 계산시간을 확인할 수 있다. HH 편파의 경우와 비교하여 10 % 내외의 비교적 큰 오차는 VV 편파에서 채프의 고각에 따른 채프의 큰 RCS 변화 및 10 dB 이상 작은 채프 구름의 RCS에 기인한다.

상기 결과들을 통하여 방법 2의 경우 방법 1과 비교하여 효율적으로 채프 구름의 RCS 예측을 수행하였음을 확인 할 수 있었다.